换元法怎么解

换元法怎么解
换元法怎么解

换元法怎么解
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等
局部换元：又称整体换元,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现.例如解不等式：4 +2 －2≥0,先变形为设2 =t（t>0）,
三角换元：应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元.如求函数y=√1-X^2的值域时,若x∈[-1,1],设x=sin α ,sinα∈[-1,1 ],问题变成了熟悉的求三角函数值域.为什么会想到如此设,其中主要应该是发现值域的联系,又有去根号的需要.如变量x、y适合条件x ^2+y^2 =r ^2（r>0）时,则可作三角代换x=rcosθ、y=rsinθ化为三角问题.
均值换元：如遇到x+y=2S形式时,设x= S+t,y= S－t等等.

　　例如清华大学自主招生考试题,已知a,b为非负实数,M=a^4+b^4,a+b=1,求M的最值

　　可令a=1/2-t,b=1/2+t(0≤t≤1/2),带入M,M=2×（t^2+3/4)^2-1,由二次函数性质知M（min)=1/8,M(max)=1.

题目呢啊

一般用手

等价变换未知量。比如说x ^2+y^2 =r ^2（r>0），可以换成x=rcost、y=rsint，还有许多换法，这只是最常见的一种

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
　　换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或...

全部展开

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
　　换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
　　它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
编辑本段分类
　　换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。
　　换元的种类有：等参量换元、非等量换元
局部换元
　　又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4 +2 －2≥0，先变形为设2 =t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元
　　应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y=√1-X^2的值域时，若x∈[-1,1]，设x=sin α ，sinα∈[-1,1 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x ^2+y^2 =r ^2（r>0）时，则可作三角代换x=rcosθ、y=rsinθ化为三角问题。
均值换元
　　如遇到x+y=2S形式时，设x= S+t，y= S－t等等。
　　例如清华大学自主招生考试题，已知a，b为非负实数，M=a^4+b^4，a+b=1,求M的最值
　　可令a=1/2-t,b=1/2+t(0≤t≤1/2),带入M，M=2×（t^2+3/4)^2-1，由二次函数性质知M（min)=1/8,M(max)=1.
编辑本段等量换元
　　设 x+y=3 设 x=t+2，y=v-3 在二重积分中用到
编辑本段非等量换元
　　设 u=（x+y）+3（x+y） 设x+y=S，也叫整体换元法
编辑本段应用技巧
　　我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和α∈[0, ]。
　　你可以先观察算式，你可以发现这种要换元法的算式中总是有相同的式子，然后把他们用一个字母代替，算出答案，然后答案中如果有这个字母，就把式子带进去，计算就出来啦
编辑本段使用方法
　　有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。
　　相关公式
　　注意:换元后勿忘还元.　例如在分解(x^2+x+1)(x^2+x+2)-12时，可以令y=x^2+x,则　原式=(y+1)(y+2)-12　=y^2+3y+2-12=y^2+3y-10　=(y+5)(y-2)　=(x^2+x+5)(x^2+x-2)　=(x^2+x+5)(x+2)(x-1)．
　　例2，(x+5)+(y-4)=8
　　(x+5)-(y-4)=4
　　令x+5=m,y-4=n
　　原方程可写为
　　m+n=8
　　m-n=4
　　解得m=6,n=2
　　所以x+5=6,y-4=2
　　所以x=1,y=6
　　特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。

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