作业帮函数的单调性与最值已知f(x)=xlnx-ax,g(x)=-x²-2.当a=-1时,求函数f(x)在[m,m+3](m>0)上的最值.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 01:50:42
函数的单调性与最值已知f(x)=xlnx-ax,g(x)=-x²-2.当a=-1时,求函数f(x)在[m,m+3](m>0)上的最值.
函数的单调性与最值
已知f(x)=xlnx-ax,g(x)=-x²-2.当a=-1时,求函数f(x)在[m,m+3](m>0)上的最值.
函数的单调性与最值已知f(x)=xlnx-ax,g(x)=-x²-2.当a=-1时,求函数f(x)在[m,m+3](m>0)上的最值.
a=-1,则f（x）=xlnx+x.
f（x）=xlnx+x.
f'（x）=lnx+2.
令f'（x）＞0,＜0.
得x∈（e⁻²,+∞）时,f'（x）＞0；x∈（0,e⁻²）时,f'（x）＜0.
从而f（x）在（0,e⁻²）递减,（e⁻²,+∞）递增.
①当m≥⁻²时,此时,f（x）在[m,m+3]递减.
故f（x）max=f（m）=mlnm+m,f（x）min=(m+3)ln(m+3)+m+3.
②当0＜m＜e⁻²时,f（x）在[m,e⁻²）递减,（e⁻²,m+3]递增.
从而f（x）min=f（e⁻²）=-e⁻².
对于f（x）max：
f（m）=mlnm+m,f（m+3）=（m+3）ln（m+3)+m+3.
f（m）-f(m+3)=mln(m/(m+3)-3ln(m+3)-3.
∵m/（m+3）＜1,m+3＞3.
∴mln（m/（m+3）＜0,ln（m+3）＞0.
∴f（m）-f（m+3）＜0,则f（m）＜f（m+3）.
从而f（x）max=f（m+3）=(m+3)ln(m+3)+m+3.
综上,0＜m＜e⁻²时,f（x）max=f（m+3）=(m+3)ln(m+3)+m+3,f（x）min=f（e⁻²）=-e⁻².
当m≥e⁻²时,f（x）max=f（m）=mlnm+m,f（x）min=(m+3)ln(m+3)+m+3.