作业帮证明三角形三中线相交
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/08 21:01:57
证明三角形三中线相交
证明三角形三中线相交
证明三角形三中线相交
连接各中点,得到中位线,根据三角形相似可以证明.
这其实是个定理!
重心定理
ly天才贡献 三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.该点叫做三角形的重心.
三角形的重心是各中线的交点,重心定理是说三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的2/3.
假设有n个物体组成的物体系,重量为wi,位于ri（矢量,下同）,i=1,2,...n.则这个物体系的重心为r:
r=(w1r1+w2r2+...wnrn)/(w1+w2+...+wn)
这就是最一般的重心计算公式
物理学中可以使用微积分求出中心所在坐标.
如果知道A（x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3）.则其重心的坐标就为{(x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3,(z1+z2+z3)/3}
利用三角形的相似性可以很快得到证明.下面由ly天才给各位热爱数学的同胞详细介绍一下.
△ABC,AB、BC、CA中点分别为D、E、F,交于一点G.
∵AD=AB/2,AF=AC/2.
∴DF平行BC,DF=BC/2.
∴HF平行BE.
又∵∠BGE=∠FGH.
∴△BGE∽△FGH ∴BG/GF=BE/FH.
又∵FH=DH ∴BG/GF=BE/FH=BE/DH=2.
∴BG=（2/3）BF
(免费赠送,还有其他性质)
法2
证明：如图,在△ABC中,D为AC中点,E为AB中点,连结BD、CE,相交于点O,连结AO并延长交BC于点M,分别过点O、点A作BC的垂线段,垂足为H1、H2,连结DE、DM
∵D、E为AC、AB中点
∴DE‖BC,且DE＝1/2BC
∴BO：OD=CO：OE=BC：DE＝2：1
∵D为AC中点
∴△BCD的面积=1/2△ABC的面积
∵BO：BD＝2：3
∴△BOC的面积＝2/3△BCD的面积＝1/3△ABC的面积
∵△BOC与△ABC同底
∴OH1=1/3AH2
∴OM：AO=OH1：AH2=1：3
∴AO：OM=2：1= BO：OD
∴DM‖AB
∵D为AC中点
∴M是BC中点
∴AM为边BC的中线
∴△ABC的三条中线交于一点O.
最佳答案检举 交于点O，连结AO并延长交BC于点M，分别过点O、点A作BC的垂线段，垂足为H1、H2，连结DE、DM
∵D、E为AC、AB中点
∴DE‖BC，且DE＝1/2BC
∴BO：OD=CO：OE=BC：DE＝2：1
∵D为AC中点
∴△BCD的面积=1/2△ABC的面积
∵BO：BD＝2：3
∴△BOC的面积＝2/...
全部展开
最佳答案检举 交于点O，连结AO并延长交BC于点M，分别过点O、点A作BC的垂线段，垂足为H1、H2，连结DE、DM
∵D、E为AC、AB中点
∴DE‖BC，且DE＝1/2BC
∴BO：OD=CO：OE=BC：DE＝2：1
∵D为AC中点
∴△BCD的面积=1/2△ABC的面积
∵BO：BD＝2：3
∴△BOC的面积＝2/3△BCD的面积＝1/3△ABC的面积
∵△BOC与△ABC同底
∴OH1=1/3AH2
∴OM：AM=OH1：AH2=1：3
∴AO：OM=2：1= BO：OD
∴DM‖AB
∵D为AC中点
∴M是BC中点
∴AM为边BC的中线
∴△ABC的三条中线交于一点O.
收起
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用 “面积法” 证明 最简便 设D为BC边的中点，则AD就是一条中线，在AD上取一点E，使得AE=2DE，则容易设出图中各个三角形的面积，则：FE：EC= y：2x=z：2x，∴ y = z ，∴ F点为 AB的中点，所以 AF为中线，同理，可得出 BE的延长线也可以成为三角形的一条中线，于是 命题获证！