已知对任意x属于R,cos(x+a)+sin(x+β)+根号2cosx=0求cosa的值；求cos(a+β)的值等式恒成立，a,β为常数

已知对任意x属于R,cos(x+a)+sin(x+β)+根号2cosx=0求cosa的值；求cos(a+β)的值等式恒成立，a,β为常数
已知对任意x属于R,cos(x+a)+sin(x+β)+根号2cosx=0
求cosa的值；求cos(a+β)的值
等式恒成立，a,β为常数

已知对任意x属于R,cos(x+a)+sin(x+β)+根号2cosx=0求cosa的值；求cos(a+β)的值等式恒成立，a,β为常数
cos(x+a)+sin(x+β)
=cosxcosa-sinxsina+cosxcosβ-sinxsinβ
=cosx(cosa-cosβ)-sinx(sina+sinβ)
∵cos(x+a)+sin(x+β)+√2cosx=0
∴cosx(cosa-cosβ+√2)-sinx(sina+sinβ)=0
∵对任意x属于R有 cos(x+a)+sin(x+β)+√2cosx=0恒成立
∴则有cosa-cosβ+√2=0,sina+sinβ=0
∵sina+sinβ=0,0

既然该方程恒成立，分别以x=0和x=π/2代入：
cosa+sinβ+√2=0 ………………（1）
-sina+cosβ=0 ………………（2）
由（1）得 sinβ= -√2 - cosa （3）
...

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既然该方程恒成立，分别以x=0和x=π/2代入：
cosa+sinβ+√2=0 ………………（1）
-sina+cosβ=0 ………………（2）
由（1）得 sinβ= -√2 - cosa （3）
（2） 得 cosβ=sina （4）
（3）^2+（4）^2得：
1=2+2√2 cosa +1
∴ cosa= -（√2）/2
∴ sina= （√2）/2 或 -（√2）/2
根据（4） cosβ = （√2）/2 或 -（√2）/2
按（1） sinβ = -（√2）/2
∴ cos(a+β) = cosa cosβ - sina sinβ = 0

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x=0得：cosa+sinβ=-√2
x=π/2得：-sina+cosβ=0
：sina=cosβ
：sin²β=(-√2-cosa)² ;
sin²β+cos²β=1即：（-√2-cosa)²+sin²a=1;
即cosa= -√2/2
所以sinβ=-√2/2
cos(a+β)=cosacosβ-sinasinβ=cosasina-sinacosa=0

因为 cos(x+a)+sin(x+β)+根号2cosx=0 对于任意x属于R成立
即 cosxcosa-sinsina +sinxcosβ+cosxsinβ+根号2cosx=0 对于任意x属于R成立
=>cosx(cosa+sinβ+根号2)+sinx（cosβ-sina）=0 对于任意x属于R成立
=>（cosa...

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因为 cos(x+a)+sin(x+β)+根号2cosx=0 对于任意x属于R成立
即 cosxcosa-sinsina +sinxcosβ+cosxsinβ+根号2cosx=0 对于任意x属于R成立
=>cosx(cosa+sinβ+根号2)+sinx（cosβ-sina）=0 对于任意x属于R成立
=>（cosa+sinβ+根号2)=0且（cosβ-sina）=0
=>cosβ=sina=cos（PI/2-a） =>β-(PI/2-a)=2nPI (n为任意整数)
=> (β+a)=2nPI+PI/2 且β=(PI/2-a)+2nPI (n为任意整数) =>cos(a+β)=0
由于 cosa+sinβ+根号2 =0
所以cosa+sin(PI/2-a)+根号2 =0 =>cosa+cosa+根号2 =0 =>cosa=(-根号2 )/2
综上所述：cosa=(--根号2 )/2且cos(a+β)=0

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