高等代数,矩阵运算A为nxn矩阵,A∧2=A,证明：rank(A)+rank(A-E)=n

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/15 19:59:44

高等代数,矩阵运算A为nxn矩阵,A∧2=A,证明：rank(A)+rank(A-E)=n
高等代数,矩阵运算
A为nxn矩阵,A∧2=A,证明：rank(A)+rank(A-E)=n

高等代数,矩阵运算A为nxn矩阵,A∧2=A,证明：rank(A)+rank(A-E)=n
利用两个引理就可以了～
（1）对于m乘n阶矩阵A、n乘s阶矩阵B：若AB=0,则r（A）+r（B）<=n
（2）对于n阶矩阵A、B,有r（A+B）<=r（A）+r（B）
证明上面的两个引理：
（1）因为AB=0,所以B的列向量均为AX=0的解,则B的列向量组的秩不超过AX=0的解空间W的维数,即r（B）<=dimW=n-r（A）（齐次线性方程组解空间维数等于未知量个数减去系数矩阵的秩）,从而r（A）+r（B）<=n
（2）设a1,…,an为A的列向量,b1,…,bn为B的列向量,不妨设a1,…,ar为A的列向量的极大线性无关组,b1,…,bl为B的列向量的极大线性无关组,则a1,…,an均可由a1,…,ar线性表出,b1,…,bn均可由b1,…,bl线性表出,从而A+B的列向量a1+b1,…an+bn均可由a1,…,ar,b1,…,bl线性表出,从而r（A+B）<=r（a1,…,ar,b1,…,bl）<=r（a1,…,ar）+r（b1,…,bl）=r（A）+r（B）
现在来证明该题：
利用（1）,有r（A）+r（A-E）=r（A）+r（E-A）>=r（A+E-A）=r（E）=n
又A^2-A=A（A-E）=0
从而利用（2）可得r（A）+r（A-E）<=n
所以r（A）+r（A-E）=n

高等代数,矩阵运算A为nxn矩阵,A∧2=A,证明：rank(A)+rank(A-E)=n 高等代数矩阵证明题A为nxn矩阵,rankA=r,证：存在一个nxn可逆矩阵P使PAP∧(-1)的后n-r行全为0（只用行列式、线性相关性、矩阵运算的知识,后面还没学到）感觉给右乘P∧-1没什么用啊，只要求后n- 高等代数,矩阵运算证明A,B,C,D都为nxn矩阵,A的行列式不为0,AC=CA,证：G的行列式=H的行列式,其中G为2x2分块矩阵,G11=A,G12=B,G21=C,G22=D,H为1x1分块矩阵,H11=AD-CB 高等代数矩阵运算高等代数设A为n阶实反对称矩阵求证矩阵 A^2为实对称矩阵高等代数,矩阵运算证明A∧*表示矩阵A的伴随矩阵,它的每一个元素为A的相应元素的代数余子式,证：(A∧*)∧*=(A的行列式)∧(n-2)A,其中A为n级,n≥2只用行列式、线性相关、矩阵运算的知识高等代数题目：已知A为mXn矩阵,m已知A为mXn矩阵，m 高等代数考研题目,求所有三阶复矩阵A,使A与A^2相似高等代数矩阵方程组A为m*n型矩阵,B为n*m型矩阵,r(A)=m,BA=0,则B=? 一个高等代数问题?关于矩阵矩阵A是一实数矩阵,求证秩（AA')=秩(A) 高等代数习题求解～关于矩阵与多项式理论已知A为n阶方阵 A^3+4A=E求证 A^2-2011A 可逆设A为正定矩阵,证明A的对角线上的元素都大于零高等代数题线性代数关于对称矩阵的问题.若A,B均为nxn的矩阵,那么以下的矩阵是否必为对称矩阵或非对称矩阵?（1）ABA （2）AB+BA 高等代数,矩阵问题,5, 高等代数若矩阵A的最小多项式为x(x-1)的因式,为什么他的特征多项式为x∧r(x-1)∧n-r 刘老师,已知n阶矩阵A与上三角矩阵B=(bij)nxn相似,则A的特征值为? 大一线性代数矩阵运算设A,B为n阶矩阵,且A为对称矩阵,证明BtAB也是对称矩阵.注:Bt为转置矩阵,手机打不对. 高等代数怎么证明复数矩阵A与他的共轭矩阵,他俩的行列式也互为共轭