作业帮常系数齐次线性全微分方程e^x=cos x ? Euler's formula?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/05 11:41:21
常系数齐次线性全微分方程e^x=cos x ? Euler's formula?
常系数齐次线性全微分方程
e^x=cos x ? Euler's formula?
常系数齐次线性全微分方程e^x=cos x ? Euler's formula?
e^(ix)和e^(-ix)是此方程的两个无关解基,但是是复数域的解基,即y=C1e^(ix)+C2e^(-ix) (C1,C2为复数)
要求其在实数范围内的解基,需要采用欧拉公式y=C1[cosx+isinx]+C2[cosx-isinx]
y=(C1+C2)cosx+(C1-C2)isinx,当C1与C2是一对共轭复数的时候,y=(C1+C2)cosx+(C1-C2)isinx是实数,这时令C3=C1+C2,C4=(C1-C2)i (易知C3与C4均是实数),就转化成了实数范围的解基：
y=C3cosx+C4sinx (C3,C4为任意实数)
e^(a+bi)=e^a(cosb+isinb)，这是欧拉公式。你的解答过程用到：线性微分方程的复值函数解的实部和虚部也均是该方程的解。
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