matlab解微分方程y“（x)+2y'(x)+2y(x)=xe^（-x）,y(0)=0,y‘（0)=0,求过程及结果

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/18 00:13:51

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在命令窗口直接输入
y=dsolve('D2y+2*Dy+2*y=x*exp(-x)','Dy(0)=0,y(0)=0','x')
可以得到结果
y=(sin(x)*(cos(x) + x*sin(x)))/exp(x) - (cos(x)*(sin(x) - x*cos(x)))/exp(x) - sin(x)/exp(x)

非齐次线性方程的通解=齐次方程的通解+非齐次方程的特解
首先，令方程右端为0；y“（x)+2y'(x)+2y(x)=0 ；特征方程为：r²﹢2r﹢2=0 ,特征根：r=-1±i
所以：齐次方程的通解为：Y=e^(-x)(asinx+bcosx) a,b为常数
设 非齐次方程的特解为：y*=e^(-x)·(Ax+B)·(x^k)
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非齐次线性方程的通解=齐次方程的通解+非齐次方程的特解
首先，令方程右端为0；y“（x)+2y'(x)+2y(x)=0 ；特征方程为：r²﹢2r﹢2=0 ,特征根：r=-1±i
所以：齐次方程的通解为：Y=e^(-x)(asinx+bcosx) a,b为常数
设 非齐次方程的特解为：y*=e^(-x)·(Ax+B)·(x^k)
因为e^(-x)中的指数的系数为：-1，不是特征方程的根，所以k=0
设y*=e^(-x)·(Ax+B) ①
现在对y*求一阶导，得出y*'=············· ②
再对y*求二阶导，得出y*''=················ ③
把y*,y*',y*'' 代入原方程，利用对应系数相等，可以解出：A=····B=·····
写出y*=·············· 把y(0)=0代入① ，y'(0)=0代入②
解出：y*=········································
方程通解为：Y+y*
具体的求导步骤请自己计算一下。

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