可逆矩阵是否可以被如下线性表示

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/09 03:00:25

可逆矩阵是否可以被如下线性表示
可逆矩阵是否可以被如下线性表示

可逆矩阵是否可以被如下线性表示
这个可以用Hamilton-Cayley定理: 若n阶方阵A的特征多项式为f(x), 则f(A) = 0.
f(x)是首一的n次多项式, 可设f(x) = x^n+a[1]·x^(n-1)+...+a[n-1]·x+a[n].
则有A^n+a[1]·A^(n-1)+...+a[n-1]·A+a[n]·E = 0.
f(x)作为A的特征多项式, 有a[n] = (-1)^n·|A|, 故A可逆时a[n] ≠ 0.
有E = -1/a[n]·A^n-a[1]/a[n]·A^(n-1)-...-a[n-1]/a[n]·A.
两边乘以A^(-1)即得A^(-1) = -1/a[n]·A^(n-1)-a[1]/a[n]·A^(n-2)-...-a[n-1]/a[n]·E.
即A^(-1)可表为E, A,..., A^(n-1)的线性组合.
对题目中的矩阵A, 可算得其特征多项式为f(x) = x³-4x²+4x-1.
于是A^(-1) = A²-4A+4E = (A-2E)² (这样算起来会简单一点).
代入算得A^(-1) = [ 2, 1, 1; 5, 3, 2; -4, -2, -1].

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