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初中数学探究式问题的设计

作者：王川 文章来源：成都市龙泉驿区外国语实验学校 点击数：1105 更新时间：2006-6-13

随着新的课程标准实施,探究式教学日益受到老师们青睐,开展探究式教学,有利于学生创新意识和实践能力的培养,这就对教师教学观念和教学能力提出了挑战.我们知道,数学是思维的体操,问题是数学的心脏,探究式教学无疑更注重思维的活动,它必须是建立在数学问题基础之上创新学习方式.这给我们数学教师提出了一个首要问题：探究式问题在探究式教学中的地位和作用,如何设计探究的问题?
一、数学探究问题的地位和作用.
科学探究是通过对知识信息分析,然后提出科学命题,寻求解决问题渠道,应用于实践的探索研究活动.它一般都要经历反复不断试误的长期过程,而探究教学更多的任务仍然是继承前人的知识,受着教学的时间和空间的限制；另一方面,由于初中学生抽象思维正在发展之中,思维水平也达不到科学探究的要求.因此,探究教学并不是真正意义上的科学探究,大多数是“模拟的科学探究”,它是在教师和学习共同体的支持下,提供一定背景材料,根据一定的线索确定证据收集的方向,并在可能合理的解释中做出决策,并把决策运用于实际的活动过程.在这个过程中,探究背景、探究方向、原因解释、实践运用要素概括为探究问题,解释决策的活动（情境感悟、观察猜测、独立思考、类比发现、观点结论归纳总结、方法的交流讨论等）概括为探究教学方式.从这个意义上讲,探究问题是探究教学的重要部分.
从教学因素上思考,探究式课堂教学有三个基本的要素无非是教师、学生、问题,与教师和学生关联的是教法和学法,是人的行为方式,问题是探究行为的对象,师生探究是围绕问题而展开的,探究教学为探究问题服务,探究问题的呈现、深入发展过程必须辅之以教和学的方式.教学的过程就是问题的探究过程,不同的问题需要不同的教学探究方法,教法和学法的优劣作用于问题探究成效,因此,探究问题的设计必然伴随着教学方式的设计.
从教学目标上看,探究教学指的是学生建构知识、形成数学基本思想方法、领悟数学研究的一般方法的各种活动,并在此基础上形成技能、方法与能力.它们的形成必须依附一定的载体,这个载体就是“探究式问题”,因此,问题被视为学习的核心,探究式学习有时也被人们称为“问题导向式”的学习.虽然探究教学的终极目标是追求创新意识和实践能力的培养,但学习的基本目标是获得方法与能力,因此,探究问题的内容并不仅限于科学命题的探究,也有解决问题、提出问题的方法探究,甚至是经验的总结、实践的感悟、数学生活的体验,正是如此,探究问题的设计是探究教学设计的重要内容.
我们可以把探究问题从不同角度设计为以下几类问题.从数学知识类型：形成性问题、应用性问题、建构型问题；从数学思想方法的角度；转化问题、分类讨论问题、数形结合问题、类比归纳问题；从结果的确定性角度：开放式问题、封闭式问题；从教学课型：新授课专题问题、练习巩固问题、综合复习问题.
二、探究问题设计方法.
探究问题设计包含两个方面,一方面是问题的背境设计,问题背景指的是产生问题的过程或原因；另一方面是问题的探究点设计,探究点指的是问题探究的方向或探究的内容,它是探究问题设计的核心部分.
1、问题探究背景设计方法.
问题运用背景：从探究的必要性出发,为了解决某个问题、研究某个数学规律而设置,这样的探究问题的背景本身就是一个问题,这样的问题背景从学习需要出发,一般又能联系实际应用,能较好激发学生主动探究热情,它一般作为数学规律、方法建构的探究问题背景,特别是新的知识系统构建的新授课教学最常用的背景设置方式.
旧知识、旧方法背景：引入旧知识、旧方法,通过延伸、类比等方式发现新的探究问题.容易如一元一次不等式性质及解法通常在等式性质和一元一次方程的背景进行探究,分式的基本性质、分式的基本运算通常在分数基本知识为背景下进行探究.由于这类问题容易激活原有认知基础,能较好引起差异学生个体的探究兴趣.
特例背景：从特殊入手,列举众多的例子作为背景去观察分析,探索出一般规律,它本身也是一些小的问题.由于背景问题的起点低,容易观察,规律性强,感性和理性容易结合等特点容易引起每个学生兴趣,在七年级的问题探究中应加大使用力度.
矛盾背景：写出一段有一定认知冲突的材料为背景引出要讨论的探究问题.学生的知识是在不断的认知冲突中不断同化而形成的,学生的困惑之处、错误多发之处、争论之处一般是学生学习的难点,也是探究问题背景设计之源.学生容易犯以偏概全的错误,如“数轴上任意两点之间的距离”,学生根据数形结合的有限例子,认为是表示点的数的差或两数和的绝对值就是两点之间的距离,如果不进行有意识的探究,学生很难形成一般共识；学生容易把充分条件作为充要条件使用,如已知的解都是正数,求k的取值范围,学生认为x、y大于0,则x＋y＞0,即k＞0；直觉思维和抽象思维之间也容易引起冲突,如解关于x的方程ax＝－2,其中a＜0,学生的结果是x＝2／a,理由是a是负数,a与－2负负得正.实践中,笔者把这些问题设计成学探究问题后,很好地解决了学生的困惑.
迁移背景：有的是提供问题解决思路的背景材料,学习材料后模仿解决问题或自主提出问题并解决问题；有的是把问题解决的一般步骤作为背景,然后解释探究原理和思路.如解决出一个一元一次方程,为方程的每个步骤命名并解释每个步骤的原理；给出平行线间同底等高的两个三角形面积相等的原理,并提供一个问题解决的例子,然后模仿解决其它应用型问题.这类背景的探究问题适合学生自主学习.
应用背景：提供应用背景,抽象出探究问题,经济和文化生活的繁荣给数学教师带来了广泛的数学问题源,如电讯、出租车、房屋按揭、存款、股票、打折销售、工资待遇、彩票、博彩、运输费用、税收、物价、投资回报、工程造价、旅游价格、最短路径、最经济的设计、文物保护、紧急避险、包含美学的几何图案.
条件变化背景：一类主要是提供图形或命题成立的固定条件,开放结论；如给出一个四边形,并顺次连接各边中点,就图形提出问题,给出连接了对角线的梯形和它的中位线,对图形提出问题并证明结论的正确性.二类是条件变换,探究办法.如：有一棵大树,根据各种变化的背景,设计相应的测量方案.三类是图形可能的条件和结论全部抛出,自由组合,猜测证明可能成立的命题,如给出梯形的一腰上底角的角平线、腰上另一底角角平分线、上下底之和等于腰、腰的两端点与另一腰中点的连线、这两线垂直,组合其中的条件,能否得出其它的结论?这类问题能满足学生个性特长的发展,培养学生思维的发散性、独特性、创造性有特殊功效.
阅读背景：提供一段含有数据或方法的阅读材料背景,然后提出原因解释或问题解决.常见背景有数学历史、数学故事或数学的研究过程的问题.如勾股定理的历史、无理数的产生过程、乘方的故事、负数的产生过程、概率故事等,把故事的过程作为探究情境,让学生经历科学的发现过程,感受学习探究的方法.来自经济生活和日常生活中的问题.把这些问题设计成为应用型问题,不仅让学到了数学知识,激发学生学习兴趣,更能开阔学生的视野.
2、设计问题探究重点.
知识构建点.数学概念我们课堂教学的重点知识内容,初中数学更多的是形成性概念,一般按这样的认知顺序形成：背景材料——形成概念——概念特征——特征简单运用,从具体到抽象的概念归纳、形成过程,多个特征的发现,一般是教学的重难点,决定了它们也是学习探究的重点,因此概念形成及特征是重要的问题设计点.一般作如下问题设计：观察分析材料,有什么共同特点?——把这些共同特点用文字或符号语言加以归纳——举出符合概念的例子——提出探究方向,发现概念具有什么特征?怎样说明其正确性?
方法构建点.一类解决问题方法建构,集合整理同类问题形成方法探究专题,当学习了某种解决问题的方法后,会想到还会有哪些新的方法,有哪些问题可能用类似的方法解决.如：两条线段之和等于第三条线段之类的问题,代数求值问题,建立方程、不等式、函数模型的问题、图形面积等分的问题.教师能适时把这些探究问题抛给学生,不仅能强化课本知识的掌握,有助于探究能力的培养根据数学方法的形成.另一类是探究问题提出方法的建构.通过对一般问题的类比、发散联想、集中思考等创造性思维,发现数学新问题,从有限的或特殊的例子解决,联想延伸到无限的问题或一般的性结论探究,从简单图形性质过渡到复杂图形性质的探究.如学生在学习四边形之后,联想到三角形全等的判定,自然会产生四边形全等的判定方法的探究；如学习了平行四边形,会类推到什么是平行六边形,它有什么性质；如学生探究了正方体的各种截面的形状后,自然会想到其它几何时截面的探究,如矩形的折叠问题.
综合能力构建点.一类是应用性问题,它是综合能力的集中体现,能充分体现数学建模的特点和过程,它具有有较强的挑战性、探索性、实用性,并可以在不同水平上运用多种模型来分析和求解；另一类是综合运用知识构建性问题,能使知识系统化、模块化、信息化综合探究问题,一般体现在二次函数与一元于次方程的结合问题,几何图形与方程、函数模型结合并体现出运动变化的特点的问题.
二、探究问题的设计策略.
笔者通过多年的教学实践,认为探究问题应从以下三个方面进行设计.
1、命题要素、思想方法或解决策略具有开放性.
传统上,问题的答案是唯一的,解法是模式化的,称这类问题是“封闭”的．相反,开放性问题指的是构成命题的要素、思想方法、解决策略不确定性,不确定可能是：解决问题的策略多途径,使用的数学思想方法多渠道,条件的不断变换,问题背景的多样性,结论的发散或多渠道讨论,问题条件与结论的自由组合得来的不一定成立的命题.这样的开放,决定了问题解决的时间和空间一定的开放,课内不能完成的探究可能延伸到课外,可能延伸到未来的学习之中,思维上更注重各种认知的参与和各种思维综合能力的发挥.
问题提问句方式有：你能得到什么结论,发现了什么,共同特点是什么,为什么?改变条件,以能得到什么结论?有哪些可能性,有什么样的思考,你是怎样思考的?你将怎么办?根据材料你能提出哪些问题,用什么方法解决?
由于问题指向不确定或不唯一,方法也不再唯一,这就吸引学生不依赖教师和书本,独立地去探索和发现问题的各种各样的答案,可使学生在解题中形成积极探索和创造性的心理态势,对数学本质产生一种新的领悟,进而生动活泼地参与“学数学,做数学,用数学”的过程,使学生的认知结构得到有效的发展．它既能较好地照顾学生的个体差异和数学个性特征,不同的学生在探究中有不同的认识,又容易有效激发学生的参与探究、挑战、创新的欲望,从而引起学生的交流讨论,甚至争论,有利于学生学法和能力的培养.
2、逻辑上符合认知规律.
问题的内部构造应符合学生认识规律,由易到难,由简单到复杂,由具体问题到抽象,拾级而上.探究教学能顺利进行,大部分问题设计的出发点不是为了为难、甄别学生,而是让大多数学生可以解决的,并从中获得必要经验和成就的动机,它应符合新课程标准理念,符合学生的“就近发展区”,符合学生数学现实.
这就要求我们设计的问题一般有认识基础,容易引人入胜,问题表述简单明白,问题解决涉及的知识与旧知识相联系,综合性有一定的控制,不能出现必须大量应用学生没有掌握的知识,又由于初中学生近情性动机较强的特点,问题中必须加入大量的直观材料.如：应用性问题与理化知识运用相关或与生产、生活、社会内容相联系的背景；形成性问题应提供大量感性材料或特殊的例子,运用直观可以猜测到结论和验证一般结论,运用已有的说理知识推理证明,最后把证明的结论运用到由简单到复杂的问题.
因此,问题的形式上往往以问题串的形式出现,首例问题一般应具有可接近性、直观性、趣味性、实践性、示范性、启发性等其中的特点；中间问题则注意层次递进,越来越富有挑战性,题目的开放度也逐渐增加,但思想方法大体一致,增加对比、类比、实际应用的问题,以巩固学生所习得的基本知识和思想方法；后续问题一般设计为全开放问题,可以是自我对数学方法的总结,可以是自主提出问题,可以是目前知识未能解决的问题,可以是目前还不完全知道结论的问题,可以是数学小论文的写作.
实践教学证明,通过探究式问题的学习,它既能关注学生的个体差异,又能在步步挑战中满足学生成就动机,能让学生在步步体验中获得探究后的愉悦和崇高,有利于学习的内部动机激发；在探究后续问题中,学生往往能够根据前面的问题模式,模仿提出问题,从而有利于问题意识和创新能力的培养.
3、注意思维的实践价值.
数学探究问题设计的目的为了训练数学思维,数学思维的实践训练是数学探究的最基本的任务,实践训练对象是脑和手.几何及函数应用问题应着力体现运动变化和实践动手,大多数能用几何画板软件模拟变化过程,让学生在数学实践活动中,增加体验,感受空间变化,有利于学生对图形规律的归纳和几何方法清楚认识,从而较好发展学生的抽象思维和应用实践能力.在代数规律或几何图形性质探究问题中,提供一定量的类比、对比数据及图形材料,利用计算器、几何软件或通过折、剪、拼等几何实验,进行动手思维进行动手实践,把思维实践重点放在对数据进行观察、对比、类比、归纳概括一般规律上,最后提供运用规律的练习实践材料,发展学生数感、符号感、空间感和概括归纳、实践认知能力.这些探究不但能激发学生动手实践,还能引起学生后续思考、再发现.