P是三角形ABC内一点,使角PAC=角PCA=15度,求证:BP=AB.在三角形ABC中,角BAC=90度,AB=AC,P是三角形ABC内一点,使角PAC=角PCA=15度,求证：BP=AB.答得好答得快

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/15 10:19:17

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〈PAC=〈PCA=15度,
〈BAC=90度,
〈BAP=90度-15度=75度,
〈APC=180°-15°-15°=150°
把三角形APC顺时针旋转90度,得一三角形PQB,
△AQB≌△APC,
AQ=AP=PC=BQ,
三角形APQ是等腰直角三角形,
〈AQP=45°,
〈BQP=150°-45°=105°,
设AP=1,
PQ=√2,
根据余弦定理,
BP^2=1+2-2*1*√2cos105°
BP=√（2+√3）
=√[（3+2√3+1）/2]
=√[（√3+1）^2/2]
=（√6+√2）/2,
作PM垂直AC,
AC/2=AP*cos15度,
AC=（√6+√2）/2,
故AC=BP.
若用初中方法,可以以AC为边作等边三角形ACM,连结MP,
AM=AC,AC=AB,
AM=AB,
〈MAP=60度+15度=75度,
〈BAP=90度-15度=75度,
〈BAP=〈PAM,
AP=AP,
△BAP≌△MPA,
同理,
AM=CM,
PM=PM,
AP=CP,
△AMP≌△CMP（SSS）,
〈AMP=〈CMP,
〈AMC=60度,
〈AMP=30度,
〈ABP=〈AMP=30度,
〈APB=180度-<BAP-<ABP=180°-75°-30°=75°,
∴<BAP=<BPA=75°,
∴AB=BP.

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