作业帮微分方程y'+ytanx=cosx的通解,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/08 22:39:46
微分方程y'+ytanx=cosx的通解,
微分方程y'+ytanx=cosx的通解,
微分方程y'+ytanx=cosx的通解,
注,a * b 代表 a乘以b,a^b 代表a的b次方
设原式为非齐次方程（1）,为求其解,原式化为y‘+ytanx=0 （2）
其中（2）被称作对应于非齐次线性方程（1）的齐次线性方程.
（2）分离变量后得dy / y = - tan x dx ,两端积分,得 ln|y| = - ∫ tan x dx + C1 ,
或 y=Ce^(-∫ tan x dx) (C= ± e^C1),这是对应的齐次线性方程（2）的通解.
现在,再用常数变易法求（1）的通解,此法为将（2）的通解中的C换成cos x,即
y = u * e^(-∫ tan x dx) (3)
于是 dy / dx = u' * e^(-∫ tan x dx) - u * (tan x) * e^(-∫ tan x dx) (4)
将（3）（4）代入（1）得
u' * e^(-∫ tan x dx) - u * (tan x) * e^(-∫ tan x dx) + u * (tan x) * e^(-∫ tan x dx) = cos x
即 u' * e^(-∫ tan x dx) = cos x ,u' = (cos x) * e^(∫ tan x dx)
两端积分,得 u = ∫[ (cos x) * e^(∫ tan x dx)]dx + C
把上式代入（3）,便得非齐次方程（1）的通解
y = e^(-∫ tan x dx) * [ ∫ (cos x) * e^(∫ tan x dx) dx) + C ] (5)
将（5）改写成两项之和
y = Ce^(-∫ tan x dx) + e^(-∫ tan x dx) * ∫ (cos x) * e^(∫ tan x dx) dx)
化简得 y = Ce^(-ln|cos x|) + e^(-ln|cos x|) * [(cos x) * (ln cos x) - cos x ]
【梦华幻斗】团队为您答题.
变形 y'cosx+ysinx=cos^2x
（ysinx）'=cos^2x
ysinx=1/4(sin2x+2x+C)
y=1/(4sinx)*(sin2x+2x+C)