一个球半径r,一个圆锥所有母线和底面与球相切,求圆锥全面积的最小值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/02 21:57:45
一个球半径r,一个圆锥所有母线和底面与球相切,求圆锥全面积的最小值
一个球半径r,一个圆锥所有母线和底面与球相切,求圆锥全面积的最小值
一个球半径r,一个圆锥所有母线和底面与球相切,求圆锥全面积的最小值
如图所示,圆锥轴截面图,△ABC,圆O是球截面的大圆,D、E、F是切点,AD是△ABC的高,OD=OE=OF=r,
设AD=x,
AO=x-r,
AF=√(AO^2-OF^2)=√[(x-r)^2-r^2]=√(x^2-2rx),
∵〈AFO=〈ADB=90°,〈FAO=〈DAB(公用角),
∴△AOF∽ABD,
∴OF/BD=AF/AD,
r/BD=√(x^2-2rx)/x,
BD=rx/√(x^2-2rx),
∵BF=BD,
∴AB=AF+BD
=√(x^2-2rx)+ rx/√(x^2-2rx)
=(x^2-rx)/√(x^2-2rx),
全面积S=S侧+S底=2π*BD*AB/2+πBD^2
=2πr[x/√(x^2-2rx)* ][(x^2-rx)/√(x^2-2rx)]/2+π[rx/√(x^2-2rx)]^2
=πrx^3/(x^2-2rx),
dS/dx=[3πrx^2(x^2-2rx)-(2x-2r)* πrx^3]/(x^2-2rx)^2
=πrx^3(x-4r)/(x^2-2rx)^2.
令dS/dx=0,
则x=4r,当0〈x<4r时,s’<0,函数单调递减,当x>4r时s’>0, 函数单调递增,所以x=4r是极小值点,
S(min)=π*r*(4r)^3/[(4r)^2-2r*4r]
=8πr^2,
∴圆锥全面积的最小值为8πr^2.
s=πr²(sinθ+sin²θ)/(1-sin²θ)
求导。。。额,还给老师了。 θ是圆锥顶角的一半