作业帮立体几何 斜棱柱如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1D⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱AA1=2． 求直线bd1与平面a1c1d所成角的正弦值 求二面角d -a1c1- a 的余弦值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 14:52:34
立体几何 斜棱柱如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1D⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱AA1=2． 求直线bd1与平面a1c1d所成角的正弦值 求二面角d -a1c1- a 的余弦值
立体几何 斜棱柱
如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1D⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱AA1=2． 求直线bd1与平面a1c1d所成角的正弦值 求二面角d -a1c1- a 的余弦值
立体几何 斜棱柱如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1D⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱AA1=2． 求直线bd1与平面a1c1d所成角的正弦值 求二面角d -a1c1- a 的余弦值
（1）连接B'D'交A'C'于E,连接DE交BD'于F,连接BD
∵A'D⊥面ABCD
∴A'D⊥面A'B'C'D'
∴A'D⊥B'D'
∵底面ABCD是边长为1的正方形
∴底面A'B'C'D'是边长为1的正方形
∴A'C'⊥B'D'
∴B'D'⊥面A'C'D
∴E是D'在面A'C'D上的射影
∴∠D'FE是直线BD'与平面A'C'D所成角
∵D'E∥BD,D'E=1/2BD
∴△D'EF∽△BDF
∴EF/DF=D'E/BD=1/2
∴EF=1/3DE
在直角△A'B'D'中,B'D'=√(A'B'²+A'D'²)=√2
∵A'C'=B'D',E平分A'C'、B'D'
∴D'E=1/2B'D'=√2/2,A'E=D'E=√2/2
在直角△A'AD中,A'D=√(A'A²-AD²)=√3
在直角△A'ED中,DE=√(A'E²+A'D²)=√14/2
∴EF=1/3DE=√14/6
在直角△D'EF中,D'F=√(D'E²+EF²)=2√2/3
∴sin∠D'FE=D'E/D'F=3/4
（2）连接AC交BD于G,连接A'G
∵AA'∥CC'
∴平面AA'C'C与平面AA'C'是同一平面,面AA'C'C与面DA'C'所成二面角也是二面角D-A'C'-A
∵AA'∥CC',AA'=CC'
∴四边形AA'C'C是平行四边形
∴A'C'∥AC
∵ABCD是正方形
∴AC⊥BD,即AC⊥DG
∴A'C'⊥DG
由（1）可知,A'D⊥A'C'
∴A'C'⊥面A'DG
∴∠DA'G是面AA'C'C与面DA'C'所成二面角,也是二面角D-A'C'-A
由（1）可知,A'D=√3
在直角△ABD中,BD=√(AB²+AD²)=√2
∵G平分BD
∴DG=1/2BD=√2/2
在直角△A'DG中,A'G=√(A'D²+DG²)=√14/2
∴cos∠DA'G=A'D/A'G=√42/7