如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,过点E作EF∥BC交CD于点F,AB=4,BC=6,∠B=60°.（1）求点E到BC的距离； （2）点P为线段上的一个动点,过P作PM垂直EF交BC于点M,过M作MN∥AB交折线ADC于点N,连接PN.

如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,过点E作EF∥BC交CD于点F,AB=4,BC=6,∠B=60°.（1）求点E到BC的距离； （2）点P为线段上的一个动点,过P作PM垂直EF交BC于点M,过M作MN∥AB交折线ADC于点N,连接PN.
如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,过点E作EF∥BC交CD于点F,AB=4,BC=6,∠B=60°.
（1）求点E到BC的距离；
（2）点P为线段上的一个动点,过P作PM垂直EF交BC于点M,过M作MN∥AB交折线ADC于点N,连接PN.
①当点N在线段DC上时,△PMN的形状是否发生变化.
②当点N在线段DC上时,是否存在点P,△PMN为等腰三角形.

如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,过点E作EF∥BC交CD于点F,AB=4,BC=6,∠B=60°.（1）求点E到BC的距离； （2）点P为线段上的一个动点,过P作PM垂直EF交BC于点M,过M作MN∥AB交折线ADC于点N,连接PN.
设EP=x
（1）如图1,过点E作EG⊥BC于点G．
∵E为AB的中点,
∴BE=1 2 AB=2
在Rt△EBG中,∠B=60°,∴∠BEG=30度．
∴BG=1 2 BE=1,EG= 2²-1²= 根号3
即点E到BC的距离为 根号3
（2）①当点N在线段AD上运动时,△PMN的形状不发生改变．
∵PM⊥EF,EG⊥EF,
∴PM∥EG,又EF∥BC,
∴四边形EPMG为平行四边形,
∴EP=GM,PM=EG= 3
同理MN=AB=4．
如图2,过点P作PH⊥MN于H,
∵MN∥AB,
∴∠NMC=∠B=60°,∠PMH=30度．
∴PH=½ PM= 根号3/2∴MH=PM•cos30°=3/2
则NH=MN-MH=4-3 /2 =5 /2
在Rt△PNH中,PN= NH2+PH2 = (5 /2 )2+( 3 / 2 )2 = 7
∴△PMN的周长=PM+PN+MN= 3 + 7 +4
②当点N在线段DC上运动时,△PMN的形状发生改变,但△MNC恒为等边三角形．
当PM=PN时,如图3,作PR⊥MN于R,则MR=NR．
类似①,MR=3 /2 ,
∴MN=2MR=3．
∵△MNC是等边三角形,
∴MC=MN=3．
此时,x=EP=GM=BC-BG-MC=6-1-3=2．
当MP=MN时,
∵EG= 根号3 ,
∴MP=MN= 3 ,
∵∠B=∠C=60°,
∴△MNC是等边三角形,
∴MC=MN=MP= 根号3
此时,x=EP=GM=6-1- 根号3 =5-根号 3 ,
当NP=NM时,如图5,∠NPM=∠PMN=30度．
则∠PNM=120°,又∠MNC=60°,
∴∠PNM+∠MNC=180度．
因此点P与F重合,△PMC为直角三角形．
∴MC=PM•tan30°=1．
此时,x=EP=GM=6-1-1=4．
综上所述,当x=2或4或（5- 根号3 ）时,△PMN为等腰三角形．

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设EP=x
（1）如图1，过点E作EG⊥BC于点G．
∵E为AB的中点，
∴BE=1 2 AB=2
在Rt△EBG中，∠B=60°，∴∠BEG=30度．
∴BG=1 2 BE=1，EG= 2²-1²= 根号3
即点E到BC的距离为 根号3
（2）①当点N在线段AD上运动时，△PMN的形状不发生改变．
∵PM⊥E...

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设EP=x
（1）如图1，过点E作EG⊥BC于点G．
∵E为AB的中点，
∴BE=1 2 AB=2
在Rt△EBG中，∠B=60°，∴∠BEG=30度．
∴BG=1 2 BE=1，EG= 2²-1²= 根号3
即点E到BC的距离为 根号3
（2）①当点N在线段AD上运动时，△PMN的形状不发生改变．
∵PM⊥EF，EG⊥EF，
∴PM∥EG，又EF∥BC，
∴四边形EPMG为平行四边形，
∴EP=GM，PM=EG= 3
同理MN=AB=4．
如图2，过点P作PH⊥MN于H，
∵MN∥AB，
∴∠NMC=∠B=60°，∠PMH=30度．
∴PH=½ PM= 根号3/2∴MH=PM•cos30°=3/2
则NH=MN-MH=4-3 /2 =5 /2
在Rt△PNH中，PN= NH2+PH2 = (5 /2 )2+( 3 / 2 )2 = 7
∴△PMN的周长=PM+PN+MN= 3 + 7 +4
②当点N在线段DC上运动时，△PMN的形状发生改变，但△MNC恒为等边三角形．
当PM=PN时，如图3，作PR⊥MN于R，则MR=NR．
类似①，MR=3 /2 ，
∴MN=2MR=3．
∵△MNC是等边三角形，
∴MC=MN=3．
此时，x=EP=GM=BC-BG-MC=6-1-3=2．
当MP=MN时，
∵EG= 根号3 ，
∴MP=MN= 3 ，
∵∠B=∠C=60°，
∴△MNC是等边三角形，
∴MC=MN=MP= 根号3
此时，x=EP=GM=6-1- 根号3 =5-根号 3 ，
当NP=NM时，如图5，∠NPM=∠PMN=30度．
则∠PNM=120°，又∠MNC=60°，
∴∠PNM+∠MNC=180度．
因此点P与F重合，△PMC为直角三角形．
∴MC=PM•tan30°=1．
此时，x=EP=GM=6-1-1=4．
综上所述，当x=2或4或（5- 根号3 ）时，△PMN为等腰三角形

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