已知AC,BD为圆O:x^2+y^2=4的两条相互垂直的弦,垂足为M(1,√2),则四边形ABCD面积的最大值为
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/05 04:13:11
已知AC,BD为圆O:x^2+y^2=4的两条相互垂直的弦,垂足为M(1,√2),则四边形ABCD面积的最大值为
已知AC,BD为圆O:x^2+y^2=4的两条相互垂直的弦,垂足为M(1,√2),则四边形ABCD面积的最大值为
已知AC,BD为圆O:x^2+y^2=4的两条相互垂直的弦,垂足为M(1,√2),则四边形ABCD面积的最大值为
将图形绕原点O旋转,使M点在OX轴正半轴,则不影响图形的几何性质,M点的新坐标为(√3,0)
设AC的倾角为@,则BD的倾角为90+@,
AC的参数方程为x=√3+tcos@,y=tsin@,
BD的参数方程为
x=√3+pcos(90+@),y=psin(90+@),
即x=√3-psin@,y=pcos@,
将x,y代入圆方程,整理后为
t^2+2√3cos@t-1=0 (1)
韦达定理,t1+t2=-2√3cos@,t1t2=-1
由参数t的几何意义知,|AC|=|t1-t2|
|AC|^2=(t1-t2)^2=(t1+t2)^2-4t1t2
=12cos@^2+4=4(3cos@^2+1)
同样的方法求得,
|BD|^2=(p1-p2)^2=12sin@^2+4
=12(1-cos@^2)+4=4(4-3cos@^2)
(|AC||BD|)^2=16(3cos@^2+1)(4-3cos@^2)
因为(3cos@^2+1)+(4-3cos@^2)=5
当且仅当(3cos@^2+1)=(4-3cos@^2),积有最大值,cos@^2=1/2,cos@=√2/2,@=45,
(|AC||BD|)^2max=100,|AC||BD|max=10,
Sabcd=1/2(|AC||BD|)
Sabcdmax=1/2*10=5