作业帮四个半径为R的球,每个球都与其它三球相切,求和这四个球都相切的球的半径?我觉得有2种情况（内切和外切）
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/08 07:41:22
四个半径为R的球,每个球都与其它三球相切,求和这四个球都相切的球的半径?我觉得有2种情况（内切和外切）
四个半径为R的球,每个球都与其它三球相切,求和这四个球都相切的球的半径?
我觉得有2种情况（内切和外切）
四个半径为R的球,每个球都与其它三球相切,求和这四个球都相切的球的半径?我觉得有2种情况（内切和外切）
楼上回答纯属想当然,“即所求转化为球边长为2R的正三角形内切球的半径”这句话完全错误.
最后的确是只有一种情况.但有可能全外切,也有可能全内切,也有可能既外切又内切.（楼上的“它们是球不是圆”这种说法纯属胡扯）
先证明不可能既内切又外切：如果有这种情况,比如和球1外切和球2内切,那么大球球心一定在这两球心连线上,但该大球和球3既可能外切也可能内切,如果和球3外切,那么球心应在球1和球3球心的垂直平分面上,那么只可能在球2的球心,且半径只能为R（这个很容易证明）,也就是说所求的球就是球2,但这显然不符合条件.同理,其它情况也可否定.
因此只可能全内切或是全外切.
显然原来四个球只可能全外切,于是四个球的球心构成棱长为2的正三棱锥.易计算得其高为三分之二倍根号6.（这里把R全省略了）
不管是全内切还是全外切,大球球心应该在垂直于底面正三角形的并过其外心的直线上.不妨设大球球心距底面的距离为H,那么该球心到这四个小球球心的距离皆相等.分两种情况：
全外切：(2根6/3 - H)^2=H^2+(2根3/3)^2 => H=根6/6,所求的球半径为根号((2根6/3)^2+(根6/6)^2)-1=(根6-2)/2
全内切：(2根6/3 + H)^2=H^2+(2根3/3)^2,这时H无正数解,因此不存在全内切的情况.
综上,只有一种情况,即所求的球半径为(根6-2)R/2,该球与四个球均相外切.
只有1种情况，它们是球不是圆。没有特别说明，球应该是实心的。 r=√6/6R ∵四球分别相切 ∴四球呈类似锥形（下3球，球心连线为边长为2R的等边三角形；上1球） ∴四球连心为正四面体 与四球都相切，该球介于四球中的细缝， 即所求转化为球边长为2R的正四面体内切球的半径。 切入正题： ∵内切球的球心到各面的距离是相等的 ∴球心和各面可以组成四个等高的三棱锥 那么1/3内切球的半径r，乘以正三棱锥的表面积就等于正四面体的体积。 设每个正三角形面积为S 4Sr=S×2√6/3R（2√6/3是正四面体的高，求法看图） r=√6/6R