求以坐标轴为对称轴,一焦点为(0,5根2)且截直线y=3x-2所得弦的中点的横坐标为1/2的椭圆方程
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/27 05:08:11
求以坐标轴为对称轴,一焦点为(0,5根2)且截直线y=3x-2所得弦的中点的横坐标为1/2的椭圆方程
求以坐标轴为对称轴,一焦点为(0,5根2)且截直线y=3x-2所得弦的中点的横坐标为1/2的椭圆方程
求以坐标轴为对称轴,一焦点为(0,5根2)且截直线y=3x-2所得弦的中点的横坐标为1/2的椭圆方程
分析:
(Ⅰ)设椭圆的标准方程为x²/a²+y²/b²=1(a>b>0),由题意知b²=2,a²=8,所以椭圆的标准方程为x²/8+y²/2=1.
(Ⅱ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x0,y0),若直线l与y轴重合,则|PM|/|PN|=|MQ|/|NQ| =﹙2-√2﹚/﹙√2-y0﹚=﹙2+√2﹚/﹙√2+y0﹚ ,得y0=1,得λ=√2 .若直线l与y轴不重合,则设直线l的方程为y=kx+2,与椭圆方程联立消去y得(1+4k²)x²+16kx+8=0,得x1+x2=-16k/﹙1+4k²﹚①,x1x2=8/﹙1+4k²﹚② .由此可知λ的取值范围.
(Ⅰ)设椭圆的标准方程为x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)
因为它的一个顶点为A(0,√2),
所以b²=2,
由离心率等于√3/2,
得 √[﹙a²-b²﹚/a²]=√3/2,
解得a²=8,
所以椭圆的标准方程为x²/8+y²/2=1
(Ⅱ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x0,y0),
若直线l与y轴重合,
则|PM|/|PN|=|MQ|/|NQ|=﹙2-√2﹚/﹙√2-y0﹚=﹙2+√2﹚/﹙√2+y0﹚,
得y0=1,得λ= 2 .
若直线l与y轴不重合,
则设直线l的方程为y=kx+2,与椭圆方程联立消去y得(1+4k²)x²+16kx+8=0,
得x1+x2=-16k/﹙1+4k²﹚①,x1x2=8/﹙1+4k²﹚②,
由|PM|/|PN|=|MQ|/|NQ|得﹙0-x1﹚/﹙x1-x0﹚=﹙0-x2﹚/﹙x0-x2﹚ ,
整理得2x1x2=x0(x1+x2),将①②代入得x0=-1/k,又点N(x0,y0)在直线l上,
所以y0=k×(-1/k )+2=1,于是有1<y1<√2 ,
因此λ=﹙2-y1﹚/﹙y1-1﹚=﹙1-y1+1﹚/﹙y1-1﹚=[1/﹙y1-1﹚]-1,
由1<y1<√2,得1/(y1-1﹚>√2+1,
所以λ>√2 ,综上所述,有λ≥√2
点评:本题考查直线和圆锥曲线的位置关系,解题时要认真审题,