证明f(x)=log2(x)+2x的单调性

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/09 06:23:27

证明f(x)=log2(x)+2x的单调性
证明f(x)=log2(x)+2x的单调性

证明f(x)=log2(x)+2x的单调性
f(x)定义域为(0 ,+∞)
f'(x) = 1/(x ln2) + 2
∵ x > 0
∴ 1/(x ln2) > 0
∴ 1/(x ln2) + 2 > 0 即 f'(x) > 0
∴ f(x)在定义域(0 ,+∞)单调递增

零和负数无对数,x>0,∴定义域(0,+∞)
令0<x1<x2:
f(x2)-f(x1) = log 2【x2】+2x2 - log 2【x1】-2x1
= log 2【x2】- log 2【x1】+2x2 - 2x1
= log 2【x2/x1】+ 2(x2-x1)
∵x2>x1,∴(x2-x1)>0,∴2(x2-x1)>0
∵x2>x1>...

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零和负数无对数,x>0,∴定义域(0,+∞)
令0<x1<x2:
f(x2)-f(x1) = log 2【x2】+2x2 - log 2【x1】-2x1
= log 2【x2】- log 2【x1】+2x2 - 2x1
= log 2【x2/x1】+ 2(x2-x1)
∵x2>x1,∴(x2-x1)>0,∴2(x2-x1)>0
∵x2>x1>0,∴x2/x1>1,∴ log 2【x2/x1】>0
∴log 2【x2/x1】+ 2(x2-x1)>0
∴f(x2)>f(x1)
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数

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