作业帮证明：1/f(1)+1/f(2)+1/f(3)+...+1/f(n)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/09 04:38:14
证明：1/f(1)+1/f(2)+1/f(3)+...+1/f(n)
证明：1/f(1)+1/f(2)+1/f(3)+...+1/f(n)<4/3
f(n)=n^3-(n-1)^3
证明：1/f(1)+1/f(2)+1/f(3)+...+1/f(n)
1/ ((n+1)^3-n^3)= 1/(3n^2+3n+1) < 1/3 * 1/（n^2+n）= 1/3 (1/n - 1/(n+1))
===>
1/f(1)+1/f(2)+1/f(3)+...+1/f(n)
< 1/f(1) + 1/3 (1/1 - 1/2 + .+ 1/(n-1) - 1/n)
= 1 + 1/3 - 1/(3n) < 4/3
f(n)=n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1,当n>=1时，函数单调递增，因此恒为正。于是有：
1/f(1)+1/f(2)+1/f(3)+...+1/f(n)等于对1/（3k^2-3k+1）从k=1到k=n求和。为了表达方便,此处用{1/（3k^2-3k+1)@(m,n)}表示对1/（3k^2-3k+1）从k=m到k=n求和，则：
{1/（3k^2-3k+1)@(1，n)}...
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f(n)=n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1,当n>=1时，函数单调递增，因此恒为正。于是有：
1/f(1)+1/f(2)+1/f(3)+...+1/f(n)等于对1/（3k^2-3k+1）从k=1到k=n求和。为了表达方便,此处用{1/（3k^2-3k+1)@(m,n)}表示对1/（3k^2-3k+1）从k=m到k=n求和，则：
{1/（3k^2-3k+1)@(1，n)} = 1+{1/（3k^2-3k+1)@(2，n)}< 1+{1/（3k^2-3k)@(2，n)}=1+{(1/3)[1/(n-1)-1/n]@(2，n)}=1+(1/3){[1/(n-1)-1/n]@(2，n)}=1+(1/3)(1-1/n)<1+(1/3)=4/3
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