作业帮插入的图片，好像没了，放在空间里
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 18:47:52
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1）
因为a(n+1)=a(n)+√(a(n)^2+1),a(n)=tanθ(n),
0<θ(n)<π/2, 所以tanθ(n)>0, cosθ(n)>0,
则√(a(n)^2+1)=√(tanθ(n)^2+1)=1/cosθ(n),
所以tanθ(n+1)=tanθ(n)+√(tanθ(n)^2+1)=sinθ(n)/cosθ(n)+1/cosθ(n)
=(sinθ(n)+1)/cosθ(n)
=(cos^2(θ(n)/2)+sin^2(θ(n)/2)^2/(cos^2(θ(n)/2)-sin^2(θ(n)/2))
=(cos(θ(n)/2)+sin(θ(n)/2))/(cos(θ(n)/2)-sin(θ(n)/2))
=(1+tan(θ(n)/2))/(1-tan(θ(n)/2))
=tan(θ(n)/2+π/4),
即tanθ(n+1)=tan(θ(n)/2+π/4), 因为0<θ(n)<π/2,所以
θ(n+1)=θ(n)/2+π/4,
即 θ(n+1)-π/2=（θ(n)-π/2）/2,
所以θ(n)-π/2是以公比为1/2,首项为θ1-π/2的等比数列
所以第一问得证.
2）
因为a1=tan θ1=1, 所以 θ1=π/4,
根据1）有 θ(n)-π/2=（θ1-π/2）/2^(n-1)=-(π/4)/2^(n-1),
下面用数学归纳法来证明结论,
当n=1时,a1=1>(1-1)π/2,结论成立,
假设当n=k（k>=2）时,结论成立,则有
a1+a2+...+a(k)>(k-1)π/2,
当n=k+1时
a1+a2+...+a(k）+a(k+1)>(k-1)π/2+a(k+1),
若要证明此时结论也成立,可以先证(k-1)π/2+a(k+1)>kπ/2,
若要证明(k-1)π/2+a(k+1)>kπ/2成立,
则就要证明a(k+1)>π/2成立.
接下来就来证明a(k+1)>π/2,
1/a(k+1)=1/tanθ(k+1)=tan(π/2-θ(k+1)),
因为π/2-θ(n）是以1/2为公比,π/2-θ1=π/4为首项的等比数列,
所以π/2-θ(n）=π/4*(1/2)^(n-1)=π/2^(n+1),
所以
tan(π/2-θ(k+1))=tan（π/2^(k+2)）=1/a(k+1),
欲要证明a(k+1)>π/2,就要证tan（π/2^(k+2)）<2/π,
当k>1时,0<π/2^(k+2)<π/8,所以tan（π/2^(k+2)）
因为1=tan（π/4)=2tan(π/8)/(1-tan^2(π/8)),
所以tan(π/8）=√2-1,不难证明√2-1<2/π
所以当n=k+1时,结论也成立.
命题得证.
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