高三数学题 题目见下图 （希望能有详细的过程）

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/17 02:53:44

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高三数学题 题目见下图 （希望能有详细的过程）
由正弦定理,有：｜PF1｜/sin∠PF2F1＝｜PF2｜/sin∠PF1F2,
∴｜PF2｜/｜PF1｜＝sin∠PF1F2/sin∠PF2F1.······①
而a/sin∠PF1F2＝c/sin∠PF2F1,∴a/c＝sin∠PF1F2/sin∠PF2F1.······②
由①、②,得：｜PF2｜/｜PF1｜＝a/c,∴c｜PF2｜＝a｜PF1｜,
∴c｜PF1｜＋c｜PF2｜＝c｜PF1｜＋c｜PF1｜,
∴（a＋c）｜PF2｜＝c（｜PF1｜＋｜PF2｜）.
由椭圆定义,有：｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a,∴（a＋c）｜PF2｜＝2ac,
∴｜PF2｜＝2ac/（a＋c）.
∵P、F1、F2构成三角形,∴P不能是椭圆的左右顶点,∴a－c＜｜PF2｜＜a＋c,
∴a－c＜2ac/（a＋c）＜a＋c,∴a^2－c^2＜2ac＜a^2＋2ac＋c^2.
显然,2ac＜a^2＋2ac＋c^2恒成立,而由a^2－c^2＜2ac,得：1－（c/a）^2＜2（c/a）,
∴1－e^2＜2e,∴e^2＋2e－1＞0,∴（e＋1）^2＞2.
∵e＞0,∴e＋1＞√2,∴e＞√2－1,又e＜1.
∴满足条件的椭圆离心率取值范围是（√2－1,1）.

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