高等数学 极限求解
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/27 06:19:48
高等数学 极限求解
高等数学 极限求解
高等数学 极限求解
0/0型,可考虑用洛必达法则,对于分子分母同时对x求导,此时观察分子中存在幂指函数,考虑用取对数法求导.得对于(e)'=0,幂指函数[(1+x)^(1/x)]'用取对数法求导,假设y=(1+x)^(1/x),
则lny=(1/x)ln(1+x)
y'/y=(-1/x^2)ln(1+x)+1/[x(1+x)]
y'=[(1+x)^(1/x)][(-1/x^2)ln(1+x)+1/[x(1+x)]]
分子的导数就等于1
所以该极限值等于lim y'=-e
先计算一个导数:设y=(1+x)^(1/x);则有lny=(1/x)ln(1+x);
y'/y=-(1/x²)lnx+1/[x(1+x)];
故y'=y[-(1/x²)ln(1+x)+1/[x(1+x)]=[(1+x)^(1/x)][-(1/x²)ln(1+x)+1/[x(1+x)].
x→0lim{[(...
全部展开
先计算一个导数:设y=(1+x)^(1/x);则有lny=(1/x)ln(1+x);
y'/y=-(1/x²)lnx+1/[x(1+x)];
故y'=y[-(1/x²)ln(1+x)+1/[x(1+x)]=[(1+x)^(1/x)][-(1/x²)ln(1+x)+1/[x(1+x)].
x→0lim{[(1+x)^(1/x)-e]/x}(【0/0型,用洛必达法则】
= x→0lim[(1+x)^(1/x)]'=x→0lim{[(1+x)^(1/x)][-(1/x²)ln(1+x)+1/[x(1+x)]}
=x→0lim{[(1+x)^(1/x)](-1/x)[ln(1+x)^(1/x)-1/(1+x)]=∞
【其中,x→0lim(1+x)^(1/x)=e;x→0lim1/(1+x)]=1;x→0lim[n(1+x)^(1/x)]=1;
x→0lim(-1/x)=∞】
收起