作业帮对于给定的一个不小于2的正整数n,随机选取两个小于或等于n的互异的正整数,记这两个正整数互质的概率为P(n).求当n无限大时,P(n)的极限.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 07:35:23
对于给定的一个不小于2的正整数n,随机选取两个小于或等于n的互异的正整数,记这两个正整数互质的概率为P(n).求当n无限大时,P(n)的极限.
对于给定的一个不小于2的正整数n,随机选取两个小于或等于n的互异的正整数,记这两个正整数互质的概率为P(n).求当n无限大时,P(n)的极限.
对于给定的一个不小于2的正整数n,随机选取两个小于或等于n的互异的正整数,记这两个正整数互质的概率为P(n).求当n无限大时,P(n)的极限.
记所取整数对的最大公约数为gcd.
n以内的p倍数共有[n/p]个,故素数p|gcd的对数共有[n/p]^2个,
那么gcd不含p的频率F(p)=(n^2-[n/p]^2)/n^2≈1-1/p^2.
整数对互质当且仅当g不含有小于n的任一素数,故互质概率P(n)≈∏(1-1/p^2).
由欧拉恒等式可知,当n→∞时,P(∞)=1/(1+1/2^2+1/3^2+…+1/k^2+…)=6/π^2.
注意：我们取整数对时并没有强调相异,相异性由后来的“g不含有小于n的任一素数”筛滤而得.
50%
0
你想，假设大的数是n，小的数m:
(1)当n=10的话，则满足互质的数m只能是大于n/2=5并且小于10的所有整数，以及
少数部分小于5的正整数：1，3;
(2)当n=100的话，则满足互质的数m只能是大于n/2=50并且小于100的所有整数
数，以及少数部分小于50的正整数：1，3，7...(有限的少数);
(3)P(n)=满足条件的数m的个数/...
全部展开
你想，假设大的数是n，小的数m:
(1)当n=10的话，则满足互质的数m只能是大于n/2=5并且小于10的所有整数，以及
少数部分小于5的正整数：1，3;
(2)当n=100的话，则满足互质的数m只能是大于n/2=50并且小于100的所有整数
数，以及少数部分小于50的正整数：1，3，7...(有限的少数);
(3)P(n)=满足条件的数m的个数/所有的数n的个数n
=（大于n/2小于n的所有正整数个数+小于n/2的互质正整数m个数）/所有的数n的个数n;
=大于n/2小于n的所有正整数个数）/所有的数n的个数n
+小于n/2的互质正整数m个数/所有的数n的个数n;
(4)随着n的不断变大，小于n/2的互质正整数m个数虽然会不断变多，但是在所有
的数n的个数n中所占的比重就会越来越小（你可以自己来验证）；
(5)当n取到无穷大的时候，小于n/2的互质正整数m个数在所有的数n的个数n中
所占的比重就微乎其微，换句话说就是0.上式中的右半部分“小于n/2的互质
正整数m个数/所有的数n的个数n”=0.只有左边了。
(6)当n变为无穷大时，大于n/2小于n的所有正整数个数占了所有的数n的个数中的
一半，即“大于n/2小于n的所有正整数个数）/所有的数n的个数n”=0.5；
（7）所有，当n趋向于无穷大时，P(n)=0.5；
希望对你有用！！！
补充：如果是当n无穷大的时候，任选两个都互质的概念就明显变为零。（互质的虽然变多，但是和总的选法的个数就很多，互质对数的比重越来越小，最后趋于零。）
收起
我是楼主。谢谢新光明张老师的回答，但是我想你好象理解错了题意。题目的意思是，从小于等于n的正整数中，再随机选2个正整数，而不是选1个。比如，n=5时，满足条件的数对有1,2;1,3;1,4;1,5;2,3;2,5;3,4;3,5;4,5，一共9对。而当n=5时，一共可能取到的数对为4+3+2+1=10对。所以P(5)=9/10=0.9。...
全部展开
我是楼主。谢谢新光明张老师的回答，但是我想你好象理解错了题意。题目的意思是，从小于等于n的正整数中，再随机选2个正整数，而不是选1个。比如，n=5时，满足条件的数对有1,2;1,3;1,4;1,5;2,3;2,5;3,4;3,5;4,5，一共9对。而当n=5时，一共可能取到的数对为4+3+2+1=10对。所以P(5)=9/10=0.9。
收起
100003