三角函数证明题:tan(kA/2)tan(kB/2)+tan(kB/2)tan(kC/2)+tan(kA/2)tan(kC/2)=1,其中k是奇数

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/05 11:28:39

三角函数证明题:tan(kA/2)tan(kB/2)+tan(kB/2)tan(kC/2)+tan(kA/2)tan(kC/2)=1,其中k是奇数
三角函数证明题:tan(kA/2)tan(kB/2)+tan(kB/2)tan(kC/2)+tan(kA/2)tan(kC/2)=1,其中k是奇数

三角函数证明题:tan(kA/2)tan(kB/2)+tan(kB/2)tan(kC/2)+tan(kA/2)tan(kC/2)=1,其中k是奇数
因为两角和的正切公式
tan[(kA/2)+(kB/2)]=[tan(kA/2)+tan(kB/2)]/[1-tan(kA/2)tan(kB/2)]
所以
tan(kA/2)+tan(kB/2)=[1-tan(kA/2)tan(kB/2)]*tan[(kA/2)+(kB/2)]
=[1-tan(kA/2)tan(kB/2)]*tan[k(A+B)/2]
=[1-tan(kA/2)tan(kB/2)]*tan[k(π-C)/2]
=[1-tan(kA/2)tan(kB/2)]*tan[(kπ-kC)/2]
=[1-tan(kA/2)tan(kB/2)]*cot(kC/2)
所以
tan(kB/2)tan(kC/2)+tan(kA/2)tan(kC/2)
=[tan(kA/2)+tan(kB/2)]*tan(kC/2)
=[1-tan(kA/2)tan(kB/2)]*cot(kC/2)*tan(kC/2)
=1-tan(kA/2)tan(kB/2)
移项得到
tan(kA/2)tan(kB/2)+tan(kB/2)tan(kC/2)+tan(kA/2)tan(kC/2)=1