作业帮线性代数矩阵求解关于合同：1.若n+1个n阶实对称阵A1,A2……An+1 都是可逆但都不是正定的,证明：存在i不等于j,使Ai和Aj 合同.2.矩阵A 0 0 1 相似于对角阵,是否存在正交阵Q 使得 Q逆AQ 为对角阵?3 -1
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 14:46:35
线性代数矩阵求解关于合同：1.若n+1个n阶实对称阵A1,A2……An+1 都是可逆但都不是正定的,证明：存在i不等于j,使Ai和Aj 合同.2.矩阵A 0 0 1 相似于对角阵,是否存在正交阵Q 使得 Q逆AQ 为对角阵?3 -1
线性代数矩阵求解
关于合同：
1.若n+1个n阶实对称阵A1,A2……An+1 都是可逆但都不是正定的,证明：存在i不等于j,使Ai和Aj 合同.
2.矩阵A 0 0 1 相似于对角阵,是否存在正交阵Q 使得 Q逆AQ 为对角阵?
3 -1 a
4 0 3
关于向量组等价：
3 已知向量组 α1(0,1,a) α2(2,1,b) β1(1,0,1) 和β2(-1,1,1) β3(1,1,c)等价,（这些都是列向量,只是不好写……）求a,b,c 的值
线性代数矩阵求解关于合同：1.若n+1个n阶实对称阵A1,A2……An+1 都是可逆但都不是正定的,证明：存在i不等于j,使Ai和Aj 合同.2.矩阵A 0 0 1 相似于对角阵,是否存在正交阵Q 使得 Q逆AQ 为对角阵?3 -1
1.若A可逆且非正定,则A的秩为n,且负惯性指数在1到n之间
由已知可知,必有两个矩阵Ai,Aj的正负惯性指数相同
此时,Ai与Aj合同.
2.|A-λE|=(-1-λ)[-λ(3-λ)-4]=(-1-λ)(λ^2-3λ-4)=(1+λ)^2(4-λ)
A+E=
1 0 1
3 0 a
4 0 4
因为A可对角化,r(A+E)=1,所以 a=3.
(A+E)X=0 的基础解系为 a1=(0,1,0)^T,a2=(1,0,-1)^T
A-4E=
-4 0 1
3 -5 3
4 0 -1
r3+r1,r2-2r1
-4 0 1
15 -5 0
0 0 0
r2*(-1/5)
-4 0 1
-3 1 0
0 0 0
(A-4E)X=0 的基础解系为 a3=(1,3,4)^T.
a3 与 a1,a2 不正交,所以A不能正交对角化.
3.这个题目才有意思.
由已知,β1,β2,β3必线性相关
所以 |β1,β2,β3|=0
而 |β1,β2,β3|=c-3
所以 c = 3.
(β1,β2,β3,α1,α2) =
1 -1 1 0 2
0 1 1 1 1
1 1 3 a b
r3-r1
1 -1 1 0 2
0 1 1 1 1
0 2 2 a b-2
r3-2r2
1 -1 1 0 2
0 1 1 1 1
0 0 0 a-2 b-4
所以 a=2,b=4.