作业帮什么是代数拓扑?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 07:18:10
什么是代数拓扑?
什么是代数拓扑?
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代数拓扑
algebraictopology
拓扑学中主要用代数工具解决问题的分支.它的前身是组合拓扑,组合拓扑的奠基人是H.庞加莱,1895年他建立了单纯同调群即可三角剖分的空间（多面体）的同调群,引进了重要的拓扑不变量贝蒂数及挠系数.J.W.亚历山大在1915年证明了贝蒂数和挠系数是同胚不变量,单纯同调群是同胚不变量.同时庞加莱还引进了复形的基本群.1904年他给出了庞加莱猜想,即每个单连通的闭的可定向的三维流形同胚于三维球面,这个猜想后被推广为每个单连通的闭的n维流形,如果具有n维球S的贝蒂数和挠系数,它就同胚于S.庞加莱猜想尚未被证明.推广了的庞加莱猜想,对于n≥5的情形,为S.斯梅尔于1961年证明,对n＝4的情形,为M.H.弗里德曼于1981年所证明.庞加莱是企图利用同调群和基本群对三维流形进行同胚分类,但亚历山大在1919年指出存在不同胚的三维流形,它们有同构的同调群和基本群.20世纪20年代S.莱夫谢茨和亚历山大发展了同调论,得到了霍普夫不变量,证明了莱夫谢茨不动点定理,亚历山大对偶定理.20世纪初引进了一般空间的同调群.1932年E.切赫上同调群产生.1944年S.艾伦伯格定义了奇异同调群且用艾伦伯格-斯廷罗德公理把各种同调群统一起来,建立了同调理论.在同伦论方面W.赫维茨定义了同伦群.J.H.C.怀特赫德把研究对象推广到CW复形.1947年N.E.斯廷罗德在障碍理论中定义了斯廷罗德平方运算.1951年J.-P.塞尔对纤维丛引进了谱序列,在同伦群的计算方面取得不少成就.此外纽结问题也进一步发展成为思维合痕和嵌入问题.
代数拓扑的经典应用包括：
Brouwer不动点定理：每个从n维圆盘到自身的连续映射存在一个不动点。
n维球面可以有一个无处为0的连续单位向量场当且仅当n是奇数。(对于n=2,这有时被称为"毛球定理"。)
Borsuk-Ulam定理:任何从n维球面到欧氏n维空间的映射至少将一对对角点映射到同一点。
任何自由群的子群是自由的。这个结果很有意思，因为该命题是纯代数...
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代数拓扑的经典应用包括：
Brouwer不动点定理：每个从n维圆盘到自身的连续映射存在一个不动点。
n维球面可以有一个无处为0的连续单位向量场当且仅当n是奇数。(对于n=2,这有时被称为"毛球定理"。)
Borsuk-Ulam定理:任何从n维球面到欧氏n维空间的映射至少将一对对角点映射到同一点。
任何自由群的子群是自由的。这个结果很有意思，因为该命题是纯代数的而最简单的证明却是拓扑的。也就是说，任何自由群G可以实现为图X的基本群。覆盖空间的主定理告诉我们每个G的子群H是某个X的覆盖空间Y的基本群；但是每个这样的Y又是一个图。所以其基本群H是自由的。
代数拓扑中最著名的未解决的几何问题是庞家莱猜想，它可能已经由Grigori Perelman所解决。同伦理论领域包含了很多悬疑，最著名的有表述球面的同伦群的正确方式。
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