高数导数与微分题求解 高手进 要过程

高数导数与微分题求解 高手进 要过程
高数导数与微分题求解 高手进 要过程

高数导数与微分题求解 高手进 要过程
链式法则复习~
[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)
积法则
[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
1(1)f(sin^2 x)=f(g(x)),g(x)=sin^2 x
所以[f(sin^2 x)]'=f'(g(x))*g'(x)=f'(sin^2(x))*2sinx *cosx
同理sin(f^2(x))=cos(f^2(x))*2f(x)*f'(x)
所以y'=f'(sin^2(x))*2sinx *cosx+cos(f^2(x))*2f(x)*f'(x)
(2)y=f(g(x))*g(f(x)),g(x)=e^x
y'=f'(e^x)*e^x *e^f(x)+f(e^x)*e^f(x)*f'(x)
2.这种指数和底都有x的函数先求ln
lny=lnx *ln sin x
y'/y=1/x*ln sin x+lnx *1/sinx *cosx
y'=(sinx)^lnx *[(ln sin x)/x+lnx *cot x]
3.首先y^2=(x^2-xf(x))/f(x)
两边对x求导
2yy'f(x)+y^2 f'(x)+f(x)+x f'(x)-2x=0
y'=[2x-xf'(x)-f(x)-y^2 f'(x)]/2yf(x)
= ±[2x-xf'(x)-f(x)-[(x^2-xf(x))/f(x)] f'(x)]/2根号[(x^2-xf(x))/f(x)]*f(x)
4.所以一阶导在x=0处连续,且二阶导存在
f''(x)从左边逼近得到2a,右边逼近得到-1/(1+x)^2=-1
2a=-1,a=-1/2
一阶导左=2ax+b=b（x=0）
右=1/(1+x)=1,-> b=1
函数连续
ax^2+bx+c=ln(1+x)
把x=0代入
c=0
a=-1/2,b=1,c=0

我已经全部写好了在纸上。。。。拍了清稀图
但是没办法传。。。我放在我空间相册了。。。蛮清楚的部走看的话就去看吧

1(1) y'=f'(sin^2(x))*(sin^2x)'+cos(f^2(x))*(f^2(x)
=2sinxcosxf'(sin^2(x))+2f(x)f'(x)cos(f^2(x)).
(2) y'=[f(e^x)]'e^[f(x)]+f(e^x){e^[f(x)]}'
=e^xf'(e^x)e^[f(x)]+f(e^x)...

全部展开

1(1) y'=f'(sin^2(x))*(sin^2x)'+cos(f^2(x))*(f^2(x)
=2sinxcosxf'(sin^2(x))+2f(x)f'(x)cos(f^2(x)).
(2) y'=[f(e^x)]'e^[f(x)]+f(e^x){e^[f(x)]}'
=e^xf'(e^x)e^[f(x)]+f(e^x)e^[f(x)]f'(x)
=f'(e^x)e^[x+f(x)]+f'(x)f(e^x)e^[f(x)].
2. y=(sinx)^lnx=e^[lnx *lnsinx]
y'=e^[lnx *lnsinx]*[(1/x)lnsinx+(cosx/sinx)lnx]
=(sinx)^lnx[(lnsinx)/x+cotxlnx]
3. 两边导得
2yy'f(x)+y^2f'(x)+f(x)+xf'(x)-2x=0
解得
dy/dx=y'=-[y^2f'(x)+f(x)+xf'(x)-2x]/[2yf(x)].
或者用公式法:
令F(x,y)=2yy'f(x)+y^2f'(x)+f(x)+xf'(x)-2x
则dy/dx=-F'x/F'y=-[y^2f'(x)+f(x)+xf'(x)-2x]/[2yf(x)].
4. 因为函数在x=0处二阶导数存在,所以一阶导数也存在且连续,于是函数在x=0连续
于是左右极限都存在且都等于f(0)=0, 而左极限为c, 所以c=0.
当x>0时f'(x)=1/(x+1) , 当x<0时, f'(x)=2ax+b
至于在x=0点处,因为连续函数可导,所以左右导数都存在且相等.
由左右导数的定义, 函数在x=0点的左导数为
lim(x-->0+)[f(x)-f(0)]/[x-0]=lim(x-->0+)(ax^2+bx)/x=b,
函数在x=0点的右导数为
lim(x-->0-)[f(x)-f(0)]/[x-0]=lim(x-->0-)(ln(1+x))/x=1,
于是b=1, 且f'(0)=1
因为函数在x=0处的二阶导数存在,所以二阶左导数和二阶左导数也存在且相等.
而二阶右导数为
lim(x-->0+)[f'(x)-f'(0)]/x=lim(x-->0+)[1/(x+1)-1]/x=lim(x-->0+)[-x/(x+1)]/x=-1
而二阶左导数为
lim(x-->0-)[f'(x)-f'(0)]/x=lim(x-->0+)[2ax+b-1]/x=lim(x-->0+)(2ax)/x=2a
于是2a=-1,所以a=-1/2.
最后得a=-1/2,b=1,c=0.

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123题 复合函数求导，4题分段函数求导，数学书上有具体步骤套用就可以了。