三角函数题、快、谢谢 (16 14:14:28)已知a,b,c分别是△ABC中角A,B,C的对边,且sin²A+sin²C-sin²B=sinAsinC（1）求角B的大小（2）若c=3a,求tanA的值

三角函数题、快、谢谢 (16 14:14:28)已知a,b,c分别是△ABC中角A,B,C的对边,且sin²A+sin²C-sin²B=sinAsinC（1）求角B的大小（2）若c=3a,求tanA的值
三角函数题、快、谢谢 (16 14:14:28)
已知a,b,c分别是△ABC中角A,B,C的对边,且sin²A+sin²C-sin²B=sinAsinC
（1）求角B的大小
（2）若c=3a,求tanA的值

三角函数题、快、谢谢 (16 14:14:28)已知a,b,c分别是△ABC中角A,B,C的对边,且sin²A+sin²C-sin²B=sinAsinC（1）求角B的大小（2）若c=3a,求tanA的值
sin²A+sin²C-sin²B=sinAsinC
正弦定理得:a^2+c^2-b^2=ac
用余弦定理,a^2+c^2-b^2=2accosB
所以cosB=1/2.所以B=60°
把c=3a代入题目等式得a^2+9a^2-b^2=3a^3,即b=a*根号7
由正弦定理知这就是sinB=sinA*根号7
所以sinA=sin60°/根号7=根号(3/28)
从而tanA=根号3/5
或者说:
因为c=3a,所以有sinC=3sinA(正弦定理)
又因为A+B+C=∏ 所以sinC=sin(A+B)
所以sin(A+B)=3sinA
sinAcosB+cosAsinB=3sinA
1/2sinA+√3/2cosA=3sinA
√3/2cosA=5/2sinA
tanA=sinA/cosA=√3/5

（1）由正弦定理：sinA/a=sinB/b=sinC/c
所以：a²+c²-b²=ac
所以：cosB=(a²+c²-b²)/2ac=1/2
所以：B=60°
（2）C=180°-A-B=120°-A
因为：c=3a
所以：sinC=3sinA
而 sinC=sin(120°-A)...

全部展开

（1）由正弦定理：sinA/a=sinB/b=sinC/c
所以：a²+c²-b²=ac
所以：cosB=(a²+c²-b²)/2ac=1/2
所以：B=60°
（2）C=180°-A-B=120°-A
因为：c=3a
所以：sinC=3sinA
而 sinC=sin(120°-A)=(√3/2)*cosA-(-1/2)*sinA
所以：(√3/2)*cosA+(1/2)*sinA=3sinA
所以 ：（√3/2)*cosA=（5/2）*sinA
所以：tanA=√3/5

收起

（1）这一问我们用的是转化思想，欲求角B，先求出其函数值，根据观察，可以得出，求cosB比较好求。下面是
根据sin²A+sin²C-sin²B=sinAsinC与正弦定理结合可得：
2R²（sin²A+sin²C-sin²B）=2R²sinAsinC
可以推出，a²+c²-...

全部展开

（1）这一问我们用的是转化思想，欲求角B，先求出其函数值，根据观察，可以得出，求cosB比较好求。下面是
根据sin²A+sin²C-sin²B=sinAsinC与正弦定理结合可得：
2R²（sin²A+sin²C-sin²B）=2R²sinAsinC
可以推出，a²+c²-b²=ac....① cosB=(a²+c²-b²)/2ac....②
由①可得：(a²+c²-b²)/2ac=1/2 所以cosB=1/2 所以B=60°或π/3
（2）第二问是和第一问联系在一起的，第一问解答了，第二问就好说了。
由题意得：sinC=3sinA,sinC=sin(180°-B-A),因为B=60°
所以sinC=sin(120°-A),因此sin(120°-A)=3sinA
把式子分开可得：
sin120°cosA-sinAcos120°=3sinA
等号两边同时除以sinA(因为A是三角形的内角，所以sinA不等于0），得：
sin120°/tanA-cos120°=3,解得tanA=5分之根号3（呵呵，根号不会打，所以咯，请原谅）

收起

1）sin²B=sin²A+sin²C-sinAsinC ......①式
由正弦定理，b^2=a^2+c^2-ac
套入余弦定理，cosB=1/2，结合题意，b在0到π之间
所以B=60°
2)由题sinC=3sinA，设k=sinA，t=tanA
代入①式，k^2+9k^2-3k^2=7k^2=3/4,即k^2=3/28...

全部展开

1）sin²B=sin²A+sin²C-sinAsinC ......①式
由正弦定理，b^2=a^2+c^2-ac
套入余弦定理，cosB=1/2，结合题意，b在0到π之间
所以B=60°
2)由题sinC=3sinA，设k=sinA，t=tanA
代入①式，k^2+9k^2-3k^2=7k^2=3/4,即k^2=3/28
又k^2=(t^2)/(t^2+1)=3/28，即28t^2=3t^2+3 .....注
所以，t^2=3/25，
t1=-（根号3）/5，t2=（根号3）/5
又小边对小角,所以A为锐角，
tanA=（根号3）/5为所求
注；该式为重要结论
sin²a+cos²a=1
同时除以sin²a，得sin²a=tan²a/（tan²a+1）
同时除以cos²a，得cos²a=1/（tan²a+1）

收起