求函数y=2的2x次方-2的x-1次方+1的最小值

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 15:13:55

求函数y=2的2x次方-2的x-1次方+1的最小值
求函数y=2的2x次方-2的x-1次方+1的最小值

求函数y=2的2x次方-2的x-1次方+1的最小值
解1：
y=2的2x次方-2的x-1次方+1
y=2^(2x)-2^(x-1)+1
y=(2^x)^2-(2^x)/2+1
令：2^x=m,代入上式,有：
y=m^2-m/2+1
y'=2m-1/2
令：y'＞0,即：2m-1/2＞0,解得：m＞1/4
即：m∈(1/4,∞)时,y为单调增函数；
令：y'＜0,即：2m-1/2＜0,解得：m＜1/4
即：m∈(-∞,1/4)时,y为单调减函数.
所以,当m=1/4时,y有最小值.
这个最小值是：y最小=(1/4)^2-(1/4)/2+1=15/16
即：所求最小值是15/16.

解2：
y=2的2x次方-2的x-1次方+1
y=2^(2x)-2^(x-1)+1
y=(2^x)^2-(2^x)/2+1
令：2^x=m,代入上式,有：
y=m^2-m/2+1
y=m^2-2×(1/4)×m+(1/4)^2-(1/4)^2+1
y=(m-1/4)^2-(1/4)^2+1
y=(m-1/4)^2+15/16
因为：(m-1/4)^2≥0
所以：y≥15/16
即：y的最小值是15/16.

令a=2^x
则2^(x-1)=2^x/2=a/2
y=a²-a/2+1
=(a-1/4)²+15/16
a=2^x>0
所以a=1/4，最小是15/16

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