已知△abc,分别以ab、ac为边向外做等边三角形△abf△ace,再以af、ae为边做平行四边形aedf,求证:△bcd是等边三角形
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/14 06:20:34
已知△abc,分别以ab、ac为边向外做等边三角形△abf△ace,再以af、ae为边做平行四边形aedf,求证:△bcd是等边三角形
已知△abc,分别以ab、ac为边向外做等边三角形△abf△ace,再以af、ae为边做平行四边形aedf,求证:△bcd是等边三角形
已知△abc,分别以ab、ac为边向外做等边三角形△abf△ace,再以af、ae为边做平行四边形aedf,求证:△bcd是等边三角形
∵四边形AEDF为平行四边形,△ACE与△ABF均为等边三角形;
∴CE=AE=DF,FB=AF=EE,∠DFA=∠DEA,∠AFB=∠AEC=60°
∴△DFB≌△CED
∴DB=DC,∠FDB=∠ECD
∴△BDC为等边三角形
令AE与CD交于M点
∵FD‖AE
∴∠FDC=∠EMD
∴∠FDB+∠BDC=∠DME=∠AEC+∠ECD
∴∠AEC=∠BDC=60°
∵△BDC为等边三角形
∴∠DBC=∠DCB=∠BDC
∴△BDC为等边三角形.
因为四边形aedf为平行四边形
所以ae=df
af=de
角aed=角afd
又因为三角形abf和三角形ace为等边三角形
所以af=bf
ae=ce
角afb=角aec
所以bf=de
ce=df
角aed+角aec=角afd+角afb
即角ced=角bfd<...
全部展开
因为四边形aedf为平行四边形
所以ae=df
af=de
角aed=角afd
又因为三角形abf和三角形ace为等边三角形
所以af=bf
ae=ce
角afb=角aec
所以bf=de
ce=df
角aed+角aec=角afd+角afb
即角ced=角bfd
在三角形ced和三角形dfb中
de=bf
角ced=角bfd
ce=df
所以三角形ced全等于三角形dfb(sas)
所以bd=cd
角ecd=角bdf
又因为ae平行于fd
所以角cdf=角emd(注:ae与cd焦点为m)
即角bdf+角bdc= 角aec+角ecd(注:外角)
所以角bdc=角aec
又因为角aec=60度
所以角bdc=60度
所以三角形bcd是等边三角形(有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形)
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