作业帮将正方形ABCD绕中心O顺时针旋转角α得到正方形A1B1C1D1.如图1所示.（1）当α=45°时,如图2,若线段OA与边A1D1的交点为E.线段OA1与AB的交点为F.可得下列结论成立：1.△EOP全等△FOP 2.PA=PA1 .试选一个证
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 14:21:05
将正方形ABCD绕中心O顺时针旋转角α得到正方形A1B1C1D1.如图1所示.（1）当α=45°时,如图2,若线段OA与边A1D1的交点为E.线段OA1与AB的交点为F.可得下列结论成立：1.△EOP全等△FOP 2.PA=PA1 .试选一个证
将正方形ABCD绕中心O顺时针旋转角α得到正方形A1B1C1D1.如图1所示.
（1）当α=45°时,如图2,若线段OA与边A1D1的交点为E.线段OA1与AB的交点为F.可得下列结论成立：1.△EOP全等△FOP 2.PA=PA1 .试选一个证明、
（2）当0°>α>90°时,第（1）小题中的结论PA=PA1还成立吗?理由
（3）在旋转过程中,记正方形A1B1C1D1与AB边交于P,Q两点,探究∠POQ的度数是否改变?如果变化,请描述它与α之间的关系,如果不变,请直接写出∠POQ的度数
将正方形ABCD绕中心O顺时针旋转角α得到正方形A1B1C1D1.如图1所示.（1）当α=45°时,如图2,若线段OA与边A1D1的交点为E.线段OA1与AB的交点为F.可得下列结论成立：1.△EOP全等△FOP 2.PA=PA1 .试选一个证
考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
专题：综合题；探究型．
分析：（1）①根据旋转的性质可得：∠AOA1=45°,即可证明∠PFO=90°,则OE=OF,即可根据HL公理证明两三角形全等；
②先证明△EOP≌△FOP,再证明∴△APO≌△A1PO,即可证得；
（2）作OE⊥A1D1,OF⊥AB,垂足分别为E,F,首先△EOP≌△FOP证得∠APO=∠A1PO,即可证明△APO≌△A1PO,从而结论得证；
（3）根据（1）（2）的解题过程中∠POQ的大小不变,即可确定．
（1）若证明①△EOP≌△FOP
当α=45°时,即∠AOA1=45°,又∠PAO=45°
∴∠PFO=90°,同理∠PEO=90°
∴$EO=FO=\frac{AB}{2}$
在Rt△EOP和Rt△FOP中,有$\left\{{\begin{array}{l}{OE=OF}\\{OP=OP}\end{array}}\right.$
∴△EOP≌△FOP
若证明②PA=PA1
法一证明：连接AA1,则∵O是两个正方形的中心,∴OA=OA1∠PA1O=∠PAO=45°
∴∠AA1O=∠A1AO
∴∠AA1O-∠PA1O=∠A1AO-∠PAO
即∠AA1P=∠A1AP∴PA=PA1
法二：证明,同①先证明△EOP≌△FOP
得∠EPO=∠FPO
∵∠APE=∠A1PF∴∠APE+∠EPO=∠A1PF+∠FPO即∠APO=∠A1PO（2分）
在△APO和△A1PO中有$\left\{{\begin{array}{l}{OP=OP}\\{∠APO=∠{A_1}PO}\\{∠PAO=∠P{A_1}O={{45}°}}\end{array}}\right.$
∴△APO≌△A1PO
∴PA=PA1
（2）成立
证明如下：法一证明：连接AA1,则∵O是两个正方形的中心,∴OA=OA1∠PA1O=∠PAO=45°
∴∠AA1O=∠A1AO
∴∠AA1O-∠PA1O=∠A1AO-∠PAO
即∠AA1P=∠A1AP∴PA=PA1
法二
如图,作OE⊥A1D1,OF⊥AB,垂足分别为E,F
则OE=OF,∠PFO=90°,∠PEO=90°
在Rt△EOP和Rt△FOP中,有$\left\{{\begin{array}{l}{OE=OF}\\{OP=OP}\end{array}}\right.$
∴△EOP≌△FOP∠EPO=∠FPO
∵∠APE=∠A1PF∴∠APE+∠EPO=∠A1PF+∠FPO即∠APO=∠A1PO
在△APO和△A1PO中有
$\left\{\begin{array}{l}{op=op}\\{∠APO=∠{A}_{1}}\end{array}\right.PO,∠PAO=∠P{A}_{1}O=45°$
∴△APO≌△A1PO
∴PA=PA1
（3）在旋转过程中,∠POQ的度数不发生变化,∠POQ=45°