三角函数和正余弦定理的题,帮下忙三角形三个内角A.B.C成等差,三边a.b.c的倒数成等差,求A.B.C

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/08 02:56:58

三角函数和正余弦定理的题,帮下忙三角形三个内角A.B.C成等差,三边a.b.c的倒数成等差,求A.B.C
三角函数和正余弦定理的题,帮下忙
三角形三个内角A.B.C成等差,三边a.b.c的倒数成等差,求A.B.C

三角函数和正余弦定理的题,帮下忙三角形三个内角A.B.C成等差,三边a.b.c的倒数成等差,求A.B.C
不知道成等差是什么意思.
查了资料觉得意思应该是像C-B=B-A
如果理解正确,那么答案应该是A=B=C=60（等边三角形）.
先验算下a=b=c,1/b-1/a=1/c-1/b（等于0）成立.
由题意有C-B=B-A,且A+B+C=180,那么有B=60,A+C=120.
1/b-1/a=1/c-1/b则有2/b=1/a+1/c
化简有b=2ac/(a+c)
由余弦定理有b^2=a^2+c^2-2acCosB
代入就是4a^2c^2/(a+c)^2=a^2+c^2-ac
两边同乘(a+c)^2再化简得到
（这一步要非常仔细）
a^4+c^4+a^3c+ac^3-4a^2c^2=0
因式分解得
(a^2+c^2)^2-2a^2c^2+ac(a^2+c^2)-4a^2c^2=0
换元令a^2+c^2=x,ac=y
那么原方程就转化为
x^2+xy-6y^2=0
考虑到要求出x与y的关系式,且x,y不等于0
两边同除y^2
再换元令x/y=k
有k^2+k-6=0
(k+3)(k-2)=0
所k=2(另一解k=-3时,有a^2+c^2=-3ac,则a^2+c^2+3ac=0,考虑到a,c都大于0,所以等式不可能成立,故k不等于-3）
因而有x/y=2(x=2y)
就是a^2+c^2=2ac
那么（a-c)^2=0
所以a=c,就有A=C=60=B
（注：本人初二,如果解答有错误,请谅解...）

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