有三个不同的自然数,它们的最大公因数是1,但其中任两数都不互质,这三个自然数的和最小是多少?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/14 11:48:35

有三个不同的自然数,它们的最大公因数是1,但其中任两数都不互质,这三个自然数的和最小是多少?
有三个不同的自然数,它们的最大公因数是1,但其中任两数都不互质,这三个自然数的和最小是多少?

有三个不同的自然数,它们的最大公因数是1,但其中任两数都不互质,这三个自然数的和最小是多少?
最大公因数是1,说明他们三者之间不存在共有的素因子.而两两之间不互质,又说明两两之间存在共有的素因子.
假设要求的3个自然数分别是A,B,C.其中：
x = A,B的最大公约数
y = B,C的最大公约数
z = C,A的最大公约数
任选两个,比如 x,y,则必然有 x,y 互质.否则的话设 d = x,y 的最大公约数（d>1）,则 d 同时是 A,B 和 B,C 的约数,这和 A,B,C 互质相矛盾.
因此容易得出结论：x,y,z 两两互质.
构造结果：
为了使结果最小,可以令 x,y,z 为 3 个不同的素数.最小的3个素数分别是2,3,5.那么可以设：
(1).A,B的最大公约数x = 2
(2).B,C的最大公约数y = 3
(3).C,A的最大公约数z = 5
由 (1),(2) 知,B至少包含因子2,3,所以B最小是 2*3 = 6
由 (2),(3) 知,C至少包含因子3,5,所以C最小是 3*5 = 15
由 (3),(1) 知,A至少包含因子5,2,所以A最小是 5*2 = 10
综上所述,A+B+C的最小值应该是 6+15+10 = 31

(1,2,3)=1
1+2+3=6 不行！！
（1,4,6）=1
4,6 行
1+4+6=11

都不互质，很容易想到质数2的这个特例,再加入一个质数，另一个数为两数之积
由于要和最小，则加入最小的质数3，
则和最小为2+3+6=11

设满足条件的三个不同的自然数为a,b,c,要使两两不互质,任意两个数均有一个相同的素因子,并要使这个自然数的和最小,因此取3个最小的质数2,3,5,使得每个数含有这3质数中的两个因子,这样它们的最大公因数是1,且任两数都不互质,并且和最小,即取a=2*3=6,b=3*5=15,c=2*5=10,6+15+10=31...

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31.
设满足条件的三个不同的自然数为a,b,c,要使两两不互质,任意两个数均有一个相同的素因子,并要使这个自然数的和最小,因此取3个最小的质数2,3,5,使得每个数含有这3质数中的两个因子,这样它们的最大公因数是1,且任两数都不互质,并且和最小,即取a=2*3=6,b=3*5=15,c=2*5=10,6+15+10=31...

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2+4+6=12
2和4的因数(约数)有2,
2和6的因数(约数)有2,
4和6的因数(约数)有2.
2=1*2
4=2*2
6=2*3
2,4,6的最大公因数(约数)是2．