证明0到1之间有无限个无理数?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/05 16:11:47
证明0到1之间有无限个无理数?
证明0到1之间有无限个无理数?
证明0到1之间有无限个无理数?
证明:
用反证法:
假设0到1之间有有限个无理数
那么取出其中最小的无理数,记为a
那么a/2也是无理数,
0
不妨考虑区间[0,1]的有理数,因为有理数是分数,所以依分母从小到大的顺序,可以将他们排成一个数列,即0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,........其中去掉了重复的数字。显然,[0 ,1]上的所有有理数都在这个数列里。又因为点是没有长度的,所以对以任意的a>0可以用一个长度为a/2的区间将0包住,用一个长度为a/4的区间将1包住,用一个长度为a/8的区间将1/2包住,.........
全部展开
不妨考虑区间[0,1]的有理数,因为有理数是分数,所以依分母从小到大的顺序,可以将他们排成一个数列,即0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,........其中去掉了重复的数字。显然,[0 ,1]上的所有有理数都在这个数列里。又因为点是没有长度的,所以对以任意的a>0可以用一个长度为a/2的区间将0包住,用一个长度为a/4的区间将1包住,用一个长度为a/8的区间将1/2包住,.........这些区间的长度和是a/2+4/a+a/8+.....=a[1-(1/2)^n]等比数列求和公式。极限为a,因此在[0,1]所有的有理数占据的长度小于a ,但a是任意的,所以[0,1]之间几乎都是无理数。所以出现了个奇妙的问题,假如能在有理数上安装一个红灯,无理数上安装个绿灯,接通电源,出现的现象是眼前是一条绿线几乎看不到红色。。。和平常认为的不同。。。偶然得知的。这就是有时候直观显得苍白,无限却充满矛盾啊。此矛盾岂直观能解决。愿对你有所帮助,加油,好好学习哈。
收起