已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=Sn·Sn-1(n大于等于2,Sn不为0),a1=2/91、求证{1/Sn}为等差数列 2、求满足an>an-1的自然数n的集合
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/29 03:28:20
已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=Sn·Sn-1(n大于等于2,Sn不为0),a1=2/91、求证{1/Sn}为等差数列 2、求满足an>an-1的自然数n的集合
已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=Sn·Sn-1(n大于等于2,Sn不为0),a1=2/9
1、求证{1/Sn}为等差数列
2、求满足an>an-1的自然数n的集合
已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=Sn·Sn-1(n大于等于2,Sn不为0),a1=2/91、求证{1/Sn}为等差数列 2、求满足an>an-1的自然数n的集合
1.由题意得:
Sn-Sn-1=an;
1/Sn-1/Sn-1=(Sn-1 - Sn ) / (Sn·Sn-1) =-an/an=-1;
S1=a1=2/9;
所以1/Sn=1/S1+(n-1)*(-1)=11/2-n;
所以Sn=2/(11-2n);
所以an=Sn-Sn-1=4/[(2n-11)(2n-13)];
所以数列{1/Sn}是公差为-1,首项为2/9的等差数列.
2.当an>an-1时,由第一问结果,得到:
4/[(2n-11)(2n-13)]>4/[(2n-13)(2n-15)];
(接下来主要是讨论符号);
当1==8时,得到-15>-11不成立;
综上所述:可得:解集为:
{1,2,3,4,5,7}
时间有限,我只做出了第一问。
1、证明:
由通项公式:
Sn-Sn-1=An
1/Sn - 1/Sn-1 = (Sn-1 - Sn ) / (Sn·Sn-1)
又因题意知: An=Sn·Sn-1 Sn-Sn-1=An
所以: 展开整理 1/Sn - 1/Sn-1 = An/An =1
即{1/Sn}符合等差数列的通项公式
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时间有限,我只做出了第一问。
1、证明:
由通项公式:
Sn-Sn-1=An
1/Sn - 1/Sn-1 = (Sn-1 - Sn ) / (Sn·Sn-1)
又因题意知: An=Sn·Sn-1 Sn-Sn-1=An
所以: 展开整理 1/Sn - 1/Sn-1 = An/An =1
即{1/Sn}符合等差数列的通项公式
所以{1/Sn}是公差为1的定差数列。
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