作业帮直线Y=KX+1,当K变化时直线被椭圆X平方/4 +Y平方=1截得的最大的弦长是多少?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/06 10:00:39
直线Y=KX+1,当K变化时直线被椭圆X平方/4 +Y平方=1截得的最大的弦长是多少?
直线Y=KX+1,当K变化时直线被椭圆X平方/4 +Y平方=1截得的最大的弦长是多少?
直线Y=KX+1,当K变化时直线被椭圆X平方/4 +Y平方=1截得的最大的弦长是多少?
设x=2×cost,y=sint,
直线必经过（0,1）而此点在椭圆上,
所以m=（2cost-0）²+（sint-1 ）²
求导算 m的最大值,求x,y再求k
由x^2/4+y^2=1
y=kx+1,可知
x^2/4+k^2x^2+2kx+1=1
(1+4k^2)x^2+8kx=0
设直线与圆的交点坐标为（x1，y1）、（x2，y2），则
x1+x2=-8k/(1+4k^2),x1x2=0
弦长d^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=(x1-x2)^2+k^2(x1-x2)^2=(1+k^2)[(x...
全部展开
由x^2/4+y^2=1
y=kx+1,可知
x^2/4+k^2x^2+2kx+1=1
(1+4k^2)x^2+8kx=0
设直线与圆的交点坐标为（x1，y1）、（x2，y2），则
x1+x2=-8k/(1+4k^2),x1x2=0
弦长d^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=(x1-x2)^2+k^2(x1-x2)^2=(1+k^2)[(x1+x2)^2-4x1x2)]
=(1+k^2)*64k^2/(1+4k^2)
=16(k^4+k^2)/(k^2+1/4)
等一下.没有时间了.
收起
直线Y=KX+1恒过(0,1),也即恒过短轴交点，
设椭圆上的另点(2cosa,sina),另点(2cosa,sina)和点(0,1)的距离即为所求弦长
弦长^2=4(cosa)^2+(sina-1)^2
=10/3-3*(sina+1/3)^2
≤10/3
最大的弦长：√30/3