牛顿微积分的特点

牛顿微积分的特点
牛顿微积分的特点

牛顿微积分的特点
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牛顿微积分,确切的说,应该叫做牛顿-莱布尼兹微积分,它的最大特点,就是广泛运用哲学中的从有限到无限的思想,大量使用流数,就是变化率.用微分和反微分（也就是积分）来解决运动,变化的问题.另外其符号是莱布尼兹首创.后来引用为一体.
总体来说.微积分是17世纪由英国的牛顿(Newton)和德国的莱布尼茨(Leibniz)在前人成果的基础上创立起来的. 在以后的两个世纪里,它以惊人的速度飞快地发展,在许多领域中得到了广泛的应用,取得了空前辉煌的成就. 作为显示数学理论无比威力的例证之一是海王星的发现. 1781年德国的威廉·赫歇尔通过观察,发现了天王星. 1830年天文学家发现天王星的运行轨道的观测位置与理论计算位置不符,因而推测在天王星之外可能还有一颗未知的行星在影响它的运动. 英国天文学家与几何学家亚当斯(J.C.Adams)和法国天文学家勒维利(Le Verrier)于1845,1846年先后按三体运动的推测,用严格的数学方法算出了这颗未知行星的运行轨道. 1846年9月23日晚上在柏林天文台工作的加勒(Galle),将望远镜指向秋夜的星空,对准了勒维利预报的方位,果然找到了这颗新的行星,这就是海王星.
微积分之所以有如此神奇的力量,是因为通过这种方法,能找到“无限短”时间内物理运动规律的所谓“微分形式”,然后进行“积分”,从而合乎逻辑地得到适合于表示物体运动规律的函数关系. 正如爱因斯坦所说：“微分定律的明晰概念是牛顿最伟大的理智成就之一”.
从更一般的角度看：用微积分方法研究实际问题的过程大致是这样的,在自变量的无限小变化过程中,考察函数的对应变化,并通过确定变化趋势的数学过程,即所谓“极限过程”,找出函数所满足的“微分规律”,然后“积分”,从而找出函数关系.
这里的关键就在于,如何在数学上理解并阐述清楚什么是“无限小变化”?什么是“极限过程”?牛顿及莱布尼茨等微积分的创立者,当时是用现实直观与数学理性相结合的方法,大胆而机智地解决了大量实际问题. 他们的思想今天仍然在许多学科中被广泛使用. 当然,这种方法有其不足之处,主要是作为一般的数学概念和方法,缺乏精确的数学描述,因而造成了一些混乱. 在当时,牛顿也为其困惑,他想了许多方法来解决,终因受当时数学发展水平所限而没能完成. 对于这种状况,18世纪的许多大数学家,如高斯(Gauss),达朗贝尔(d’Alembert)等都意识到了这一问题的所在：微积分原理的严格理性基础,不能依赖于物理或几何的直观,而只能依靠自身合理的数学概念和方法. 当时挪威数学家阿贝尔(N.H.Abel)明确地指出：“人们在今天的分析中无可争辩地发现了多得惊人的含混之处”,“最糟糕的是它还没有得到严格处理,高等分析中只有少数命题得到完全严格的证明. 人们到处发现从特殊到一般的令人遗憾的推理方法”. 正是在这种形势下,法国数学家柯西(Cauchy)在他1821年至1829年相继编写的几本教材：《分析教程第一编·代数分析》(1821)、《微积分概要》(1823)、《微积分在几何中的应用教程》(1826)和《微分学教程》(1829)中,首次成功地为微积分奠定了比较严格的基础,其中最核心的是给“极限”以比较精确的数学定义,使微积分从此走出了混乱的阶段.
今天我们来回顾微积分发展的这两个阶段,对于牛顿的直观微积分与柯西的理性微积分,应该给两者一个全面的评述. 首先,这两个阶段是微积分发展历史中的两个必然阶段,前者是后者的基础,后者是前者的发展. 更为重要的是,这两个阶段的微积分从方法上讲各有其特点,两者不是互相否定的,而是互为补充的. 从应用上讲,牛顿的方法易于理解,贴近实际,激发创意,生动而充满活力,所以为许多非数学的学者所喜爱与沿用. 但存在的问题是缺乏严格的数学理论基础,导致一些重要概念上的混乱. 柯西的理性微积分,基本上排除了混乱的概念,给微积分以完整的理论体系,为分析学科的发展奠定了坚实的理论基础. 但另一方面,它也有用严格而形式的语言,掩盖牛顿方法的许多鲜活和源于实际的思想等问题,使学习者难以较快地理解极限的实质. 这套严格的形式处理,对于初学者,有一种难以接受的感觉.