作业帮高数求一元函数在一点的切线方程问题已知曲线过（1,1）点,如果把曲线上任意一点P处的切线与y轴的交点记作Q,则以PQ为直径所做的圆都经过点F（1,0）,就此曲线.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 02:04:11
高数求一元函数在一点的切线方程问题已知曲线过（1,1）点,如果把曲线上任意一点P处的切线与y轴的交点记作Q,则以PQ为直径所做的圆都经过点F（1,0）,就此曲线.
高数求一元函数在一点的切线方程问题
已知曲线过（1,1）点,如果把曲线上任意一点P处的切线与y轴的交点记作Q,则以PQ为直径所做的圆都经过点F（1,0）,就此曲线.
高数求一元函数在一点的切线方程问题已知曲线过（1,1）点,如果把曲线上任意一点P处的切线与y轴的交点记作Q,则以PQ为直径所做的圆都经过点F（1,0）,就此曲线.
设曲线为y=f(x),曲线上点P的坐标为(x,y),
过点P的切线方程为：Y-y=f'(x)(X-x),Q为(0,y-xf'(x)) ,
PQ^2=x^2+x^2(f'(x))^2
PQ的中点坐标为：（x/2,y-xf'(x)/2) ,
由于点F（1,0）在圆上,（x/2-1)^2+(y-xf'(x)/2)^2=[x^2+x^2(f'(x))^2]/4
或：(x-2)^2+(2y-xf'(x))^2=x^2+x^2(f'(x))^2
化简得：-x+1+y^2-xyf'(x)=0
即：y^2-xyy'=x-1
2xy^2-2x^2*yy'=2x(x-1)
或：[2y^2dx-2xydy]/x^3=-2(x-1)/x^3dx
通解为：y^2/x^2=2/x-1/x^3+C,或：y^2=2x-1/x+Cx^2
因曲线过（1,1）点,代入得：C=0
所求曲线为：y^2=2x-1/x
设 P（a，f(a)）是曲线上任一点，则切线方程为 y-f(a)=f '(a)*(x-a) ，
令 x=0 得 Q（0，f(a)-a*f '(a)），
因为以 PQ 为直径的圆过 F ，所以 FP丄FQ ，
因为 FP=（a-1，f(a)），FQ=（-1，f(a)-a*f '(a)），
所以 1-a+f(a)*[f(a)-a*f '(a)]=0 ，
换用 x...
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设 P（a，f(a)）是曲线上任一点，则切线方程为 y-f(a)=f '(a)*(x-a) ，
令 x=0 得 Q（0，f(a)-a*f '(a)），
因为以 PQ 为直径的圆过 F ，所以 FP丄FQ ，
因为 FP=（a-1，f(a)），FQ=（-1，f(a)-a*f '(a)），
所以 1-a+f(a)*[f(a)-a*f '(a)]=0 ，
换用 x、y 表示，即 1-x+y(y-xy ')=0 ，初始值：x=1，y=1 .
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设曲线任意一点P(a, b),
切线方程为：y=k(x-a)+b, k=y'(a)
Q点坐标：(0, -ak+b)
PQ的中点O(a/2, -ak/2+b),
PQ的距离的一半为r, 即(2r)^2=a^2+a^2k^2=a^2(1+k^2)
所以圆的方程为：(x-a/2)^2+(y+ak/2-b)^2=a^2(1+k^2)/4
代入F(1,...
全部展开
设曲线任意一点P(a, b),
切线方程为：y=k(x-a)+b, k=y'(a)
Q点坐标：(0, -ak+b)
PQ的中点O(a/2, -ak/2+b),
PQ的距离的一半为r, 即(2r)^2=a^2+a^2k^2=a^2(1+k^2)
所以圆的方程为：(x-a/2)^2+(y+ak/2-b)^2=a^2(1+k^2)/4
代入F(1,0)入圆：（1-a/2)^2+(ak/2-b)^2=a^2(1+k^2)/4
展开化简得：1-a-kab+b^2=0
相当于解微分方程：1-x-y'xy+y^2=0, y(1)=1
可参照楼上的化简，只不过他的通解求错了：
2xyy'-2y^2=2-2x
(2xyy'-2y^2)/x^3=2/x^3-2/x^2
(y^2/x^2)'=(-1/x^2+2/x)'
两边积分得：y^2/x^2=-1/x^2+2/x+c
即通解为：y^2=-1+2x+cx^2
代入(1,1)得：c=0
特解为：y^2=2x-1
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