作业帮是否存在实数a,使函数f(x)=x^2-2ax+a的定义域为[-1,1]时,值域为[-2,2]?若存在 求a的值,若不存在说明理由
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/09 03:55:50
是否存在实数a,使函数f(x)=x^2-2ax+a的定义域为[-1,1]时,值域为[-2,2]?若存在 求a的值,若不存在说明理由
是否存在实数a,使函数f(x)=x^2-2ax+a的定义域为[-1,1]时,值域为[-2,2]?若存在 求a的值,若不存在说明理由
是否存在实数a,使函数f(x)=x^2-2ax+a的定义域为[-1,1]时,值域为[-2,2]?若存在 求a的值,若不存在说明理由
∵f(x)=x^2-2ax+a=（x-a)²-a²+a
∴当x∈R时,f(x)有最小值-a²+a
∵当x∈[-1,1]时,f(x)有最小值-2
∴-a²+a≤-2
解得a≥2或a≤-1
∵二次项系数a=1＞0,f(x)的对称轴为直线x=a
∴（1）当a≥2时,f(x)在[-1,1]上为减函数
f(-1)=(-1)²-2a*(-1)+a=2
f(1)=1²-2a*1+a=-2
解得a无解
（2）当a≤-1时,f(x)在[-1,1]上为增函数
f(-1)=(-1)²-2a*(-1)+a=-2
f(1)=1²-2a*1+a=2
解得a=-1,符合题意
∴存在实数a,使函数f(x)=x^2-2ax+a的定义域为[-1,1]时,值域为[-2,2]
a=-1
答题思路：在做这道题时可以对对称轴x=a在R上进行分类讨论,方法如1楼的答案,但这样做步骤比较烦琐,.根据f(x)开口向上,则f(x)在R上的最小值一定小于等于f(x)在一段区间上的最小值,列出方程,缩小a的范围,这样做可以使题目简单化.
,此函数为二次函数典型题，可通过判断对称轴与定义域关系，判断定义域内最值满足值域来证明a是否存在。
此函数对称轴为a，
1）a<=-1,函数在定义域内单调递增，最小值f(-1)=1+3a,最大值f(1)=1-a,并满足f(-1)=-2,f(1)=2,解得a=-1
2）a>=1,函数在定义域内单调递减，最大值f(-1)=1+3a,最小值f(1)=1-a,并满足f(-1)=2,...
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,此函数为二次函数典型题，可通过判断对称轴与定义域关系，判断定义域内最值满足值域来证明a是否存在。
此函数对称轴为a，
1）a<=-1,函数在定义域内单调递增，最小值f(-1)=1+3a,最大值f(1)=1-a,并满足f(-1)=-2,f(1)=2,解得a=-1
2）a>=1,函数在定义域内单调递减，最大值f(-1)=1+3a,最小值f(1)=1-a,并满足f(-1)=2,f(1)=-2,解得不存在
3）-1
综上可得存在a=-1。
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