作业帮水平面内有一平行金属导轨,导轨光滑且电阻不计.匀强磁场与导轨一闪身垂直.阻值为R的导体棒垂直于导轨静止放置,且与导轨接触.T=0时,将形状S由1掷到2.Q、i、v和a分别表示电容器所带的电荷
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 07:09:44
水平面内有一平行金属导轨,导轨光滑且电阻不计.匀强磁场与导轨一闪身垂直.阻值为R的导体棒垂直于导轨静止放置,且与导轨接触.T=0时,将形状S由1掷到2.Q、i、v和a分别表示电容器所带的电荷
水平面内有一平行金属导轨,导轨光滑且电阻不计.匀强磁场与导轨一闪身垂直.阻值为R的导体棒垂直于导轨静止放置,且与导轨接触.T=0时,将形状S由1掷到2.Q、i、v和a分别表示电容器所带的电荷量、棒中的电流、棒的速度和加速度.
分别求出,Q,i,v,a关于时间t的函数
水平面内有一平行金属导轨,导轨光滑且电阻不计.匀强磁场与导轨一闪身垂直.阻值为R的导体棒垂直于导轨静止放置,且与导轨接触.T=0时,将形状S由1掷到2.Q、i、v和a分别表示电容器所带的电荷
本题需要建立微分方程组求解,设导体棒质量m,其在磁场中等效长度（或者叫做导轨间距）为L；电容器电容值C；
首先根据电容器的电路性质得到：
Cdu/dt=i………………①
根据基尔霍夫定律,电路中任一回路电压和为0,对于本题中的回路有方程二：
u-BLv=iR………………②
式中u表示电容两端电压,BLv表示导体运动的感应电压,根据楞次定律其方向总是与外电压相反；iR表示导体电阻上的电压降.
在根据牛顿运动定律有导体的运动方程（方程三）：
mdv/dt=BLi………………③
式中右侧表示带电导体受到磁场的安培力.
初始条件为：
u(t=0+)=E
v(t=0+)=0
解上述方程组就可得到解,先把①代入③,并利用初始条件得到u和v的表达式：
u-E=mv/BLC
将这个等式和方程①都代入方程②,得到关于u的一阶方程：
u-[B²L²C(u-E)/m]=RC(du/dt)
整理成为标准形式为：
(du/dt)+[(B²L²C-m)u/(mRC)]=B²L²CE/(mR)
为便于书写不妨记P=(B²L²C-m)/(mRC),Q=B²L²CE/(mR),上式简写作：
du/dt+Pu=Q
显然P和Q都是与t无关的常数,所以解得：
u=u(t)=Xexp(-Pt)+(Q/P)（其中exp(-Pt)表示自然对数e的-Pt次幂,X为待定系数）
将初始条件u(t=0+)=E代入解得：X=E-(Q/P)
即u=[E-(Q/P)]exp(-Pt)+(Q/P)
最后利用如下关系求得待求解量：
电量Q=Cu
电流i=Cdu/dt
速度v=(BLC/m)(u-E)
加速度a=dv/dt