15*(20+3)用乘法分配律怎么做

15*(20+3)用乘法分配律怎么做
15*(20+3)用乘法分配律怎么做

15*(20+3)用乘法分配律怎么做
15*(20+3)
＝15x20+15x3
=300+45
=345

15*20+15*3

=15*20+15*3
=300+45
=345

定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）。 意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学...

全部展开

定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）。 意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。 分解因式与整式乘法为相反变形。
编辑本段方法
因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式，轮换对称多项式法，余式定理法，求根公式法，换元法，长除法，短除法，除法等。实际上经典例题： 1.分解因式(1 y)-2x(1 y) x(1-y) 原式=(1 y) 2(1 y)x(1-y) x(1-y)-2(1 y)x(1-y)-2x(1 y) =[(1 y) x(1-y)]-2(1 y)x(1-y)-2x(1 y) =[(1 y) x(1-y)]-(2x) =[(1 y) x(1-y) 2x]·[(1 y) x(1-y)-2x] =(x-xy 2x y 1)(x-xy-2x y 1) =[(x 1)-y(x-1)][(x-1)-y(x-1)] =(x 1)(x 1-xy y)(x-1)(x-1-xy-y) 2.证明：对于任何数x,y，下式的值都不会为33 x^5 3x^4y-5x^3y^2 4xy^4 12y^5 原式=(x^5 3x^4y)-(5x^3y^2 15x^2y^3) (4xy^4 12y^5) =x^4(x 3y)-5x^2y^2(x 3y) 4y^4(x 3y) =(x 3y)(x^4-5x^2y^2 4y^4) =(x 3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2) =(x 3y)(x y)(x-y)(x 2y)(x-2y) 就是把简单的问题复杂化） 注意三原则 1 分解要彻底 2 最后结果只有小括号 3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x^2 x=x(-3x 1）） 归纳方法：北师大版七下课本上有的 1、提公因式法。 2、公式法。 3、分组分解法。 4、凑数法。[x^2 (a b)x ab=(x a)(x b)] 5、组合分解法。 6、十字相乘法。 7、双十字相乘法。 8、配方法。 9、拆项法。 10、换元法。 11、长除法。 12、加减项法。 13、求根法。 14、图象法。 15、主元法。 16、待定系数法。 17、特殊值法。 18、因式定理法。
编辑本段基本方法
提公因式法
各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。当各项的系数有分数时，公因式系数的分母为各分数分母的最小公倍数，分子为各分数分子的最大公约数（最大公因数） 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。 口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。 例如：-am bm cm=-(a-b-c)m； a(x-y) b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)。 注意：把2a 1/2变成2(a 1/4)不叫提公因式
公式法
如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。 平方差公式: (a b)(a-b)=a^2-b^2 反过来为a^2-b^2=(a b)(a-b) 完全平方公式：(a b)^2=a^2 2ab b^2 反过来为a^2 2ab b^2=(a b)^2 (a-b)^2=a^2-2ab b^2 a^2-2ab b^2=(a-b)^2 注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。 两根式：ax^2 bx c=a(x-(-b √(b^2-4ac))/2a)(x-(-b-√(b^2-4ac))/2a) 立方和公式：a^3 b^3=(a b)(a^2-ab b^2)； 立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2 ab b^2)； 完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3=(a±b)^3． 公式：a^3 b^3 c^3-3abc=(a b c)(a^2 b^2 c^2-ab-bc-ca) 例如：a^2 4ab 4b^2 =(a 2b)^2。
分解因式技巧
1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。 2.分解因式技巧掌握： ①等式左边必须是多项式； ②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示； ③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数； ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。 注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。 3.提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。
编辑本段竞赛用到的方法
分组分解法
分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。 能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。 比如： ax ay bx by =a(x y) b(x y) =(a b)(x y) 我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。 同样，这道题也可以这样做。 ax ay bx by =x(a b) y(a b) =(a b)(x y) 几道例题： 1. 5ax 5bx 3ay 3by 解法：=5x(a b) 3y(a b) =(5x 3y)(a b) 说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。 2. x^3-x^2 x-1 解法：=(x^3-x^2) (x-1) =x^2(x-1) (x-1) =(x-1)(x^3 1) 利用二二分法，提公因式法提出 x2，然后相合轻松解决。 3. x^2-x-y^2-y 解法：=(x^2-y^2)-(x y) =(x y)(x-y)-(x y) =(x y)(x-y-1) 利用二二分法，再利用公式法a^2-b^2=(a b)(a-b)，然后相合解决。
十字相乘法
这种方法有两种情况。 ①x^2 (p q)x pq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分x^2 (p q)x pq=(x p)(x q) ． ②kx^2 mx n型的式子的因式分解 如果有k=ac，n=bd，且有ad bc=m时，那么kx^2 mx n=(ax b)(cx d)． 图示如下： a╲╱c b╱╲d 例如：因为 1 ╲╱2 -3╱╲ 7 -3×7=-21，1×2=2，且2-21=-19， 所以7x2-19x-6=(7x 2)(x-3)． 十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中
拆项、添项法
这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。 例如：bc(b c) ca(c-a)-ab(a b) =bc(c-a a b) ca(c-a)-ab(a b) =bc(c-a) bc(a b) ca(c-a)-ab(a b) =bc(c-a) ca(c-a) bc(a b)-ab(a b) =(bc ca)(c-a) (bc-ab)(a b) =c(c-a)(b a) b(a b)(c-a) =(c b)(c-a)(a b)．
配方法
对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。 例如：x^2 3x-40 =x^2 3x 2.25-42.25 =(x 1.5)^2-(6.5)^2 =(x 8)(x-5)．
应用因式定理
对于多项式f(x)=0，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a． 例如：f(x)=x2 5x 6，f(-2)=0，则可确定x 2是x2 5x 6的一个因式。(事实上，x2 5x 6=(x 2)(x 3)．) 注意：1、对于系数全部是整数的多项式，若X=q/p（p,q为互质整数时）该多项式值为零，则q为常数项约数，p最高次项系数约数； 2、对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数，c为常数项，则有a为c/b约数
换元法
有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。 相关公式
注意:换元后勿忘还元. 例如在分解(x2 x 1)(x2 x 2)-12时，可以令y=x^2 x,则 原式=(y 1)(y 2)-12 =y^2 3y 2-12=y^2 3y-10 =(y 5)(y-2) =(x^2 x 5)(x2 x-2) =(x^2 x 5)(x 2)(x-1)． 也可以参看右图。
求根法
令多项式f(x)=0,求出其根为x1，x2，x3，……xn，则该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) ． 例如在分解2x^4 7x^3-2x^2-13x 6时，令2x^4 7x^3-2x^2-13x 6=0， 则通过综合除法可知，该方程的根为0.5 ，-3，-2，1． 所以2x^4 7x^3-2x^2-13x 6=(2x-1)(x 3)(x 2)(x-1)．
图象法
令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图像与X轴的交点x1 ,x2 ,x3 ,……xn ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)． 与方法⑼相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确。 例如在分解x^3 2x^2-5x-6时，可以令y=x^3; 2x^2 -5x-6. 作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2 则x^3 2x^2-5x-6=(x 1)(x 3)(x-2)．
主元法
先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。
特殊值法
将2或10代入x，求出数p，将数p分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。 例如在分解x^3 9x^2 23x 15时，令x=2，则 x^3 9x^2 23x 15=8 36 46 15=105， 将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 ． 注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x 1，x 3，x 5，在x=2时的值， 则x^3 9x^2 23x 15可能等于(x 1)(x 3)(x 5)，验证后的确如此。
待定系数法
首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。 例如在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4时，由分析可知：这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。 于是设x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2 ax b)(x^2 cx d) 相关公式
=x^4 (a c)x^3 (ac b d)x^2 (ad bc)x bd 由此可得a c=-1， ac b d=-5， ad bc=-6， bd=-4． 解得a=1，b=1，c=-2，d=-4． 则x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2 x 1)(x^2-2x-4)． 也可以参看右图。
双十字相乘法
双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法。 双十字相乘法就是二元二次六项式，启始的式子如下: ax^2 bxy cy^2 dx ey f x、y为未知数，其余都是常数 用一道例题来说明如何使用。 例：分解因式：x^2 5xy 6y^2 8x 18y 12． 分析：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。 图如下，把所有的数字交叉相连即可 x 2y 2 ① ② ③ x 3y 6 ∴原式=(x 2y 2)(x 3y 6)． 双十字相乘法其步骤为： ①先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图①中x^2 5xy 6y^2=(x 2y)(x 3y)； ②先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项。如十字相乘图②中6y

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