设n阶方阵A满足下面三个条件：A的转置等于A；A的2次方等于A；A的行列式不等于0.证明：A是正定矩阵.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/15 17:15:42

设n阶方阵A满足下面三个条件：A的转置等于A；A的2次方等于A；A的行列式不等于0.证明：A是正定矩阵.
设n阶方阵A满足下面三个条件：A的转置等于A；A的2次方等于A；A的行列式不等于0.证明：A是正定矩阵.

设n阶方阵A满足下面三个条件：A的转置等于A；A的2次方等于A；A的行列式不等于0.证明：A是正定矩阵.
根据已知条件有：A^T = A (A^T表示A的转置),A^2 = A * A = A^T * A=A.对任意的向量X,有
X^T * A * X = X^T * A^2 * X = X^T * A * A * X = X^T * A^T * A * X = (AX)^T * (AX),令AX = Y = (y1,...,yn),
则：X^T * A * X = X^T * A^2 * X = Y^T * Y = y1^2 + .+ yn^2 >= 0.
且 A 的行列式不为 0,根据 AX = Y,所以 X ≠ 0 => Y ≠ 0.
由 X 的任意性知道,A 为正定矩阵.

因为A^T=A所以A是对称矩阵。
又因为A^2=A，所以A^2-A=〇。
用m_A (x) 表示A的最小多项式，则m_A （x）| （x^2 -x）
这说明A的特征值只可能是0或者1，又因为|A|≠0
所以A的特征值全为1，即特征值全为正数，所以A是正定矩阵。

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