无限维线性空间基的存在性证明Zorn 引理中说所有链有上限的集合有极大元素,那么这对以一个可数的无穷维线性空间怎么用Zorn引理证明其基的存在性?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/14 11:42:35

无限维线性空间基的存在性证明Zorn 引理中说所有链有上限的集合有极大元素,那么这对以一个可数的无穷维线性空间怎么用Zorn引理证明其基的存在性?
无限维线性空间基的存在性证明
Zorn 引理中说所有链有上限的集合有极大元素,那么这对以一个可数的无穷维线性空间怎么用Zorn引理证明其基的存在性?

无限维线性空间基的存在性证明Zorn 引理中说所有链有上限的集合有极大元素,那么这对以一个可数的无穷维线性空间怎么用Zorn引理证明其基的存在性?
能用Zorn引理的话不可数无穷维也不是问题.
考虑集合S,其中的元素取遍线性空间V中线性无关的向量组,显然S非空(V不是零线性空间).
S上可以定义一偏序关系为包含,即元素a≥b若向量组a包含向量组b.
对S的任意全序子集(链)T,我们在S中构造T的一个上界m,方法是对T中所有向量组取并集.
对m中的任何有限个向量v_1,..,v_n,它们分别包含在T的元素c_1,...,c_n中.
由T是全序子集,c_1,...,c_n中最大的元素(记为c)包含v_1,..,v_n全体.
由c是S的元素,即线性无关的向量组,可知v_1,..,v_n线性无关.
于是我们证明了m也是线性无关的向量组,因而是S的元素.又由m的构造易见m是T的一个上界.
至此,我们证明了S满足Zorn引理的条件.于是,S存在极大元p.
作为S的元素,p是线性无关的向量组.
而由p的极大性,p添加任意向量都将变成线性相关的,即p能线性表出所有向量.
于是p是线性空间V的一组基.
看上去证的比较繁琐,但是许多用Zorn引理的证明都是差不多的思路,熟了就好.
另外强调一点,纯粹的代数里,线性相关与线性无关都是指有限线性组合,无穷求和没有定义(需要拓扑给出收敛性).

大师，给跪了！！！！！！！！！！

无限维线性空间基的存在性证明Zorn 引理中说所有链有上限的集合有极大元素,那么这对以一个可数的无穷维线性空间怎么用Zorn引理证明其基的存在性? 有没有无限维线性空间 如何证明线性空间的任意两个基都等式 如何证明一赋范线性空间的完备性 v是数域p上的n维线性空间,T是v的线性变换.证明,存在v的线性变换S,使得TST=T 是个线性空间的证明题 怎么证明? 证明 数域P上的一个线性空间V如果含有一个非零向量,则V一定含有无限多个向量 线性空间的子空间一定有补空间吗?已知线性空间U是线性空间V的子空间,求证存在线性空间W使得U交W={0}U+W=V其中+代表直和.或者您能举出反例也可.一楼的论证对有限维是没问题的，但对于U和 证明所有m*n矩阵的集合是一个m*n维的线性子空间 证明同维数的两个有限维线性空间是内积同构 怎样证明域K上线性空间X中向量加法0元素的唯一性? 关于线性子空间的用数学归纳法证明 线性子空间的证明有几步求大神帮助 n维向量空间里n个线性无关的向量是否一定能线性表示出所有此空间中的向量?求证明 求这题,下列线性空间的维数和一组基 试证明如果线性空间中的每一个向量都可以唯一写成为该空间中n给定向量的线性组合,那么该线性空间是n维的 什么叫半无限空间线性变形体?土力学的一个问题哦 一切无限的空间真的存在吗?我说的是宇宙外的无限空间，叫一切