若直线y=x+t与椭圆x平方/4＋y方＝1相交于AB两点,求|AB|的最大值

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 12:48:28

若直线y=x+t与椭圆x平方/4＋y方＝1相交于AB两点,求|AB|的最大值
若直线y=x+t与椭圆x平方/4＋y方＝1相交于AB两点,求|AB|的最大值

若直线y=x+t与椭圆x平方/4＋y方＝1相交于AB两点,求|AB|的最大值
依题意有：y=x+t
x*x/4+y*y=1
x*x/4+(x+t)*(x+t)=1
5x*x+8tx+(at*t-4)=0
解之
x=-4t 正负2*根号5-t*t
y=x+t= -3t 正负2*根号5-t*t
设A、B两点坐标为(x1,y1)(x2,y2)
又因为 |AB|*|AB|=(x1-x2)(x1-x2)+(y1-y2)(y1-y2)
= (正负4*根号5-t*t)*(正负4*根号5-t*t)
+(正负4*根号5-t*t)*(正负4*根号5-t*t)
=160-32t*t
由此可见当t取0时,|AB|平方有最大值：160
所以 |AB|=4又根号10

联立两方程，得5x^2+8tx+4(t^2-1)=0.由弦长公式得，|AB|=[(4√2)*√(5-t^2)]/5≤(4√10)/5.等号仅当t=0时取得，故|AB||max=(4√10)/5.

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