证明：当x->0时,函数1/xsin(1/x)是无界函数,而不是无穷大

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/09 10:24:24

证明：当x->0时,函数1/xsin(1/x)是无界函数,而不是无穷大
证明：当x->0时,函数1/xsin(1/x)是无界函数,而不是无穷大

证明：当x->0时,函数1/xsin(1/x)是无界函数,而不是无穷大
首先证明无界.
对任意的M>0,总存在k,满足 2kπ+π/2>M,取x0=1/(2kπ+π/2),
则|f(x0)|=|（2kπ+π/2）sin[1/)|2kπ+π/2）]|=2kπ+π/2>M,所以无界.
下面证明不是无穷大.
存在M=1,对任意的δ>0,总存在k,满足1/2kπ

证：取两数列{xn}和{yn}，其中xn=1/(π/2+2nπ),yn=1/(nπ).
则当n->∞时，xn->0.当n->∞时，yn->0.
所以1/xn*sin(1/xn)=(π/2+2nπ)sin(π/2+2nπ)=π/2+2nπ
1/yn*sin(1/yn)=nπ*sin(nπ)=0
当n->∞时，xn->+∞,yn=0
所以函数1/xsin(1/x)是无界函数，但不是无穷大。

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