作业帮线性代数概念问题选哪个,为什么?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/05 11:40:23
线性代数概念问题选哪个,为什么?
线性代数概念问题
选哪个,为什么?
线性代数概念问题选哪个,为什么?
已知的概念与结论：
两个向量组等价指的是两个向量组可以相互线性表示.
如果向量组I可以由向量组II线性表示,则向量组I的秩≤向量组II的秩.
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（A）这个是充分条件,不是必要条件.反例：对标准的3维单位向量组e1,e2,e3,向量组e1,e2的秩是2,e1,e2不能由e2,e3线性表示,但是向量组e2,e3的秩也是2.
（B）这个既不是充分条件也不是必要条件.能得到的结论是向量组β1,β2,...,βm的秩≤m,秩未必等于m.反例：向量组e1,e2的秩是2,向量组e1,2e1可以由向量组e1,e2线性表示,但是向量组e1,2e1的秩是1.
（C）这个是充分条件,不是必要条件.等价的向量组等秩,反之不一定成立.比如向量组e1,e2与e2,e3,秩相等,但不等价.
（D）其他几个是错的,这个就应该是正确的了.
两个矩阵等价,指的是一个矩阵经过若干次初等变换可以化成另一个矩阵.
若A与B等价,则存在n阶可逆矩阵P,m阶可逆矩阵Q,使得B=PAQ,所以秩B=秩A=m,所以向量组β1,β2,...,βm的秩是m.
反过来,如果向量组β1,β2,...,βm的秩是m,则矩阵B的秩也是m,利用A与B的标准形,存在n阶可逆矩阵P1,P2,m阶可逆矩阵Q1,Q2,使得P1AQ1=P2BQ2=
Em 0
0 0
所以,(P2逆P1)A(Q1Q2逆)=B,所以矩阵A与B等价.
如果你不知道 (A) 和 (B) 的意思, 那么后面就不用看了, 也不用继续问我.
(A) \alpha_1, ..., \alpha_m 可以由 \beta_1, ..., \beta_m 线性表示说明
dim span{\alpha_1, ..., \alpha_m} <= dim span{\beta_1, ..., \beta_m}
再用已知条件
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如果你不知道 (A) 和 (B) 的意思, 那么后面就不用看了, 也不用继续问我.
(A) \alpha_1, ..., \alpha_m 可以由 \beta_1, ..., \beta_m 线性表示说明
dim span{\alpha_1, ..., \alpha_m} <= dim span{\beta_1, ..., \beta_m}
再用已知条件
dim span{\alpha_1, ..., \alpha_m} = m
得到 \beta_1, ..., \beta_m 线性无关.
(B) \beta_1, ..., \beta_m 可以由 \alpha_1, ..., \alpha_m 线性表示得到的是
dim span{\beta_1, ..., \beta_m} <= dim span{\alpha_1, ..., \alpha_m}
这个没用, 因为 \beta_i 甚至可以是零向量.
(C) 两个向量组等价的意思是说可以互相线性表示, 或者说张成的空间相同 (注意, 是相同, 而不是同构), 既然如此用 (A) 的结论即可.
(D) 两个矩阵 A 和 B 等价的意思是存在可逆矩阵 P 和 Q 使得 PAQ = B.
注意向量组的等价按矩阵形式写相当于存在 Q_1, Q_2 使得 AQ_1 = B, BQ_2 = A, 不能有行变换.
所以这里很容易举反例, 比如 A 是单位阵的前 m 列, B 是单位阵的后 m 列.
所以 (A) 和 (C) 是正确的, 你给的答案是错的.
另外, "两个向量组等价"并不是通用的术语, 一般要避免使用, 这也说明了你的题目来源并不好.
收起
C，因为都是线性无关