作业帮定义在R上的函数f(x)满足：①对任意实数m.n,都有f(m+n)=f(m)×f(n);②当x＞0时,0＜f(x)＜1 (1)求f(0)的值 （2）判断f(x)的单调性,并证明你的结论.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 16:23:02
定义在R上的函数f(x)满足：①对任意实数m.n,都有f(m+n)=f(m)×f(n);②当x＞0时,0＜f(x)＜1 (1)求f(0)的值 （2）判断f(x)的单调性,并证明你的结论.
定义在R上的函数f(x)满足：①对任意实数m.n,都有f(m+n)=f(m)×f(n);②当x＞0时,0＜f(x)＜1 (1)求f(0)的值 （2）判断f(x)的单调性,并证明你的结论.
定义在R上的函数f(x)满足：①对任意实数m.n,都有f(m+n)=f(m)×f(n);②当x＞0时,0＜f(x)＜1 (1)求f(0)的值 （2）判断f(x)的单调性,并证明你的结论.
1) f(m+n)=f(m)×f(n),
对于m>0,n=0,则0 f(0)=1
2) 令m>0,n=-m f(n)=1/f(m)
01
即当x>0时,0m,0
(1)令m=0 所以f（n)=f(0)*f(n) 所以f(0)=1
(2)设m趋近于0正，则f(m)大于0小于1，且m+n大于n 所以f(m+n)=f(m)*f(n)小于f(n) 所以该函数在R上递减
注：0正就是趋近于0的正数，形象一点说，就是0.000000000000000001 而0负就是-0.000000000000000000001
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(1)令m=0 所以f（n)=f(0)*f(n) 所以f(0)=1
(2)设m趋近于0正，则f(m)大于0小于1，且m+n大于n 所以f(m+n)=f(m)*f(n)小于f(n) 所以该函数在R上递减
注：0正就是趋近于0的正数，形象一点说，就是0.000000000000000001 而0负就是-0.000000000000000000001
howshineyou说错了，是递减
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第一小题，由第一条件，可知f(x)=f(x)*f(0)，因此f(0)=1。
第二小题，由第一条件，可知f(x)*f(-x)=f(0)=1，再由第二条件，可知x<0时，f(x)>1。
设x1>x2，则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)*f(x2)-f(x2)=f(x2)(f(x1-x2)-1)，由于x>0时，0＜f(x)＜1，可知f(x1-x2)-1<0，f(x2)>0，f(x...
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第一小题，由第一条件，可知f(x)=f(x)*f(0)，因此f(0)=1。
第二小题，由第一条件，可知f(x)*f(-x)=f(0)=1，再由第二条件，可知x<0时，f(x)>1。
设x1>x2，则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)*f(x2)-f(x2)=f(x2)(f(x1-x2)-1)，由于x>0时，0＜f(x)＜1，可知f(x1-x2)-1<0，f(x2)>0，f(x1)-f(x2)<0，因此f(x)在R上单调递减。
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1. 令m=n=0, 有f(0)=f(0) ^2 f(0)-f(0) ^2=0 得到 f(0)=0 或者 f(0)=1
2. x>0 时 f(x)是减函数
证明： 令 x>y>0 , t=x-y>0 x=y+t
f(x)=f(y+t)=f(y)*f(t) 由条件2， 0
令m=n=0 则f(0)=f(0)^2 则f(0)=0或1 令m=0,n=1 则f(1)=f(0)*f(1) 若f(0)=0 则f(1)=0 而0
(1)f(1+0)=f(1)*f(0)，又f(1)不等于0,所以，f(0)=1;
(2)(f(m+n)=f(m)×f(n)和y=e^(-x)很像，所以f(x)的单调性应该是在R上单减的。)
证明：f(m+n)=f(m)×f(n)中，设m<0,n>0,m+n>0,
容易证明，当x<0时，f(x)>0;
...
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(1)f(1+0)=f(1)*f(0)，又f(1)不等于0,所以，f(0)=1;
(2)(f(m+n)=f(m)×f(n)和y=e^(-x)很像，所以f(x)的单调性应该是在R上单减的。)
证明：f(m+n)=f(m)×f(n)中，设m<0,n>0,m+n>0,
容易证明，当x<0时，f(x)>0;
设有2数x、x+y (y>0,即x+y>x)
f(x+y)-f(x)=f(x)*f(y)-f(x)=f(x)*[f(y)-1]<0
所以，f(x)在R上是个单减的函数
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(1)
取m>0
n=0
f(m)=f(m)f(0)
当x＞0时，0＜f(x)＜1
所以
f(0)=1
(2) 令m=x,n=-x
f(0)=f(x)f(-x)=1
所以 f(x)与f(-x)互为倒数，又x>0,0
设x2>x1>0
f(x2)=f(x2-x1+x1...
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(1)
取m>0
n=0
f(m)=f(m)f(0)
当x＞0时，0＜f(x)＜1
所以
f(0)=1
(2) 令m=x,n=-x
f(0)=f(x)f(-x)=1
所以 f(x)与f(-x)互为倒数，又x>0,0
设x2>x1>0
f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)f(x1)
f(x2)-f(x1)=f(x1)(f(x2-x1)-1)<0
所以
x>0时
函数递减；
同理
x<0
f(x)递减。
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