如图,半径为r的⊙O1与半径为3r的⊙O2外切于P点,AB是两圆的外公切线,切点分别为A、B,求AB和⌒PA、⌒PB所围成的阴影部分面积.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/01 10:23:03
如图,半径为r的⊙O1与半径为3r的⊙O2外切于P点,AB是两圆的外公切线,切点分别为A、B,求AB和⌒PA、⌒PB所围成的阴影部分面积.
如图,半径为r的⊙O1与半径为3r的⊙O2外切于P点,AB是两圆的外公切线,切点分别为A、B,求AB和⌒PA、⌒PB所围成的阴影部分面积.
如图,半径为r的⊙O1与半径为3r的⊙O2外切于P点,AB是两圆的外公切线,切点分别为A、B,求AB和⌒PA、⌒PB所围成的阴影部分面积.
过O1做OH垂直O2B于H
AB=O1H=√16r²-4r²=2√3r
∵在Rt△O1O2H中,O2H=2r,O1O2=4r
∴∠HO2O1=60°,则∠O2O1A=120°
∴阴影部分面积=1/2(r+3r)×2√3r-60°/360°×π(3r)²-120°/360°×πr²=4√3r²-11/6πr²
过点O1作O1E平行AB交O2B于E
因为AB是两圆的外公切线
所以角O2BA=角O2AB=90度
所以角O2BA+角O1AB=180度
所以O1A平行O2B
所以四边形AO2EB是平行四边形
所以四边形AO2EB是矩形
所以BE=AO1
角O2EO1=角AO1E=90度
因为O1A=O1P=r O2B=O2P=3r
全部展开
过点O1作O1E平行AB交O2B于E
因为AB是两圆的外公切线
所以角O2BA=角O2AB=90度
所以角O2BA+角O1AB=180度
所以O1A平行O2B
所以四边形AO2EB是平行四边形
所以四边形AO2EB是矩形
所以BE=AO1
角O2EO1=角AO1E=90度
因为O1A=O1P=r O2B=O2P=3r
O1O2=O1P+O2P=3r+r=4r
BE=O2B-BE=3r-r=2r
所以O2E=2r
所以O2E/O1O2=2r/4r=1/2
在直角三角形O1EO1中,角O2EO1=90度
O2E=1/2O1O2
所以角EO1O2=30度
O1O2^2=O2E^2+O1E^2
所以O1E=2倍根号3*r
因为角PO2B+角O2EO1+角EO1O2=180度
所以角PO2B=60度
所以S扇形PO2B=60*π(3r)^2/360=3πr^2/2
因为角PO1A=角AO1E+角EO1O2=30+90=120度
所以S扇形PO1A=120*π*(r)^2/360=πr^2/3
S梯形ABO2O1=1/2*(O1A+O2B)*O1E
所以S梯形ABO2O1=4倍根号3*y^2
因为阴影部分的面积+S扇形PO2B+S扇形PO1A=S梯形ABO2O1
所以S阴影部分的面积=4倍根号3r^2-6分之11πr^2
收起