已知抛物线y=x²-3x,点B(4,4),问抛物线上是否还存在点P,使△BOP的内心在坐标轴上?若存在,求出点P坐标.

已知抛物线y=x²-3x,点B(4,4),问抛物线上是否还存在点P,使△BOP的内心在坐标轴上?若存在,求出点P坐标.
已知抛物线y=x²-3x,点B(4,4),问抛物线上是否还存在点P,使△BOP的内心
在坐标轴上?若存在,求出点P坐标.

已知抛物线y=x²-3x,点B(4,4),问抛物线上是否还存在点P,使△BOP的内心在坐标轴上?若存在,求出点P坐标.

答：

设内心点D为（d,0）,点P为（p,p^2-3p)

直线OP为：y=(p-3)x即(p-3)x-y=0

直线OB为：y=x即x-y=0

点D到直线OP和OB的距离相等：

L=|(p-3)d-0|/√[(p-3)^2+1]=|d-0|/√2

|(p-3)d|/√[(p-3)^2+1]=|d|/√2

因为：点D不能与点O重合

所以：d≠0

所以：|p-3|/√[(p-3)^2+1]=1/√2

平方得：

(p^2-6p+9)/(p^2-6p+10)=1/2

解得：p=2或者p=4

p=4时,点P与点B重合,舍去

所以：p=2

所以：点P为（2,-2）

BP直线为：y-4=3(x-4)即3x-y-8=0

L=|3d-0-8|/√(3^2+1)=|d|/√2

整理得：

|3d-8|=√5|d|

平方得：9d^2-48d+64=5d^2

d^2-12d+16=0

解得d=6±2√5

因为点D在三角形OPB内部

所以：d=6-2√5

所以：点P为（2,-2）,内心点D为（6-2√5,0）

当点D在y轴上时,设为（0,d）,d>0；点P为（p,p^2-3p)

直线OP为：y=(p-3)x即(p-3)x-y=0

直线OB为：y=x即x-y=0

点D到直线OP和OB的距离相等：

L=|0-d|/√[(p-3)^2+1]=|0-d|/√2

(p-3)^2=1

解得：p=2或者p=4

显然,点D应该在x轴上