2012全国高中数学联赛倒数第二题!2^m=n,m为正整数.f(x)为n次多项式,求满足f(x^2+1)=f(x)^2+1的所有f(x)

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/09 01:00:51

2012全国高中数学联赛倒数第二题!2^m=n,m为正整数.f(x)为n次多项式,求满足f(x^2+1)=f(x)^2+1的所有f(x)
2012全国高中数学联赛倒数第二题!
2^m=n,m为正整数.f(x)为n次多项式,求满足f(x^2+1)=f(x)^2+1的所有f(x)

2012全国高中数学联赛倒数第二题!2^m=n,m为正整数.f(x)为n次多项式,求满足f(x^2+1)=f(x)^2+1的所有f(x)
既然你能问这样的问题,说明你很好学,也很爱学.值得赞扬!
我且给你一条思路,仔细想想,依你的水平应该可以解答此题.
此题中2^m=n,m为正整数,f(x)为n次多项式,（很明显n为偶数,且为2的m次方数!）,
因为f(x^2+1)是一偶函数,那么等式的右边也应是一偶函数,
所以f(x)^2+1为偶函数,即是f(x)^2+1=f(-x)^2+1
f(x)^2=f(-x)^2
f(x)=f(-x)或f(x)=-f(-x)这里是问题讨论的关键所在
然后设f(x)=a1x^2m+a2x^2m-1+.+a2mx^+b m为正整数
将其代入上面的情况讨论即可得出不同情况的所以f(x)

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